Question

вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями X=7cosᶟt, y=7sinᶟt

Answer 1

$x=7cos^3 t, y=7sin^ 3 t, 0 \leq t \leq 2\pi$

Сначала вычислим

$xy'-x'y=7^2 (cos^3 t *3sin^2 t cos t + sin^3 t *3cos^2 t sin t)= 3*49 sin^2 t cos^2 t (sin^2 t+cos^2 t)= 147 sin^2 t cos^2 t *1=147 sin^2 t cos^2 t=\frac {147}{4} sin^2 (2t)$

Далее

$S=\frac{1}{2} \int\limits^{2\pi}_0 {xy'-yx'} \, dt= \frac {147}{8} \int\limits^{2\pi}_0 {sin^2 2t} \, dt= \frac {147}{8} \int\limits^{2\pi}_0 {\frac {1+cos (4t)}{2}} \, dt= \frac {147}{8} (\int\limits^{2\pi}_0 {\frac {1}{2}} \, dt+$$\frac {1}{4}\int\limits^{2\pi}_0 {cos 4t} \, d {4t})= \frac {147}{8}(\frac {t}{2}|\limits^{2\pi}_0 +\frac {1}{4} sin (4t)|\limits^{2\pi}_0)= =\frac {147}{8}* (\pi - 0 +\frac {1}{4} (0-0))= \frac {147\pi}{8}$

 

с точностью до сотых это будет 57.73