Для начала замечу, что под знак корня входит и логарифм. Поэтому я обязан наложить следующие ограничения:
Кроме того, отсюда же следует ограничение и на параметр:
.
Теперь преобразую подкоренное выражение таким образом:
![\sqrt[10]{ a^{8} x^{0,25} - x^{0,25} x^{ log_{x} a^{x} } - a^{8 + 0,25} + a^{x} a^{0,25} } = \\ \sqrt[10]{ a^{8} x^{0,25} - x^{0.25} a^{x} - a^{8} a^{0,25} + a^{x} a^{0,25} } = \\ \sqrt[10]{(a^{8} x^{0,25} - x^{0.25} a^{x}) - (a^{8} a^{0,25} - a^{x} a^{0,25})} = \\ \sqrt[10]{ x^{0,25} (a^{8} - a^{x}) - a^{0,25}(a^{8} - a^{x})} = \\ \sqrt[10]{( a^{8} - a^{x} )( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}) }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%5B10%5D%7B%20a%5E%7B8%7D%20x%5E%7B0%2C25%7D%20-%20%20x%5E%7B0%2C25%7D%20%20%20x%5E%7B%20log_%7Bx%7D%20%20a%5E%7Bx%7D%20%7D%20-%20%20a%5E%7B8%20%2B%200%2C25%7D%20%2B%20%20a%5E%7Bx%7D%20a%5E%7B0%2C25%7D%20%20%20%7D%20%3D%20%20%5C%5C%20%20%5Csqrt%5B10%5D%7B%20a%5E%7B8%7D%20x%5E%7B0%2C25%7D%20%20-%20%20x%5E%7B0.25%7D%20%20a%5E%7Bx%7D%20%20-%20%20a%5E%7B8%7D%20a%5E%7B0%2C25%7D%20%2B%20%20a%5E%7Bx%7D%20%20a%5E%7B0%2C25%7D%20%20%7D%20%3D%20%20%20%5C%5C%20%5Csqrt%5B10%5D%7B%28a%5E%7B8%7D%20x%5E%7B0%2C25%7D%20%20-%20%20x%5E%7B0.25%7D%20%20a%5E%7Bx%7D%29%20-%20%28a%5E%7B8%7D%20a%5E%7B0%2C25%7D%20-%20%20a%5E%7Bx%7D%20%20a%5E%7B0%2C25%7D%29%7D%20%3D%20%20%20%5C%5C%20%20%5Csqrt%5B10%5D%7B%20x%5E%7B0%2C25%7D%20%28a%5E%7B8%7D%20%20%20-%20%20%20a%5E%7Bx%7D%29%20-%20%20a%5E%7B0%2C25%7D%28a%5E%7B8%7D%20%20-%20%20a%5E%7Bx%7D%29%7D%20%3D%20%5C%5C%20%20%20%5Csqrt%5B10%5D%7B%28%20a%5E%7B8%7D%20-%20%20a%5E%7Bx%7D%20%20%29%28%20%20%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%20-%20%20%5Csqrt%5B4%5D%7Ba%7D%29%20%20%20%7D)
Вспоминаем теперь о том, что корень чётной степени имеет смысл, если его подкоренное выражение неотрицательно, то есть, отсюда следует неравенство
![( a^{8} - a^{x} )( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a} ) \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28%20a%5E%7B8%7D%20-%20%20a%5E%7Bx%7D%20%29%28%20%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%20-%20%20%5Csqrt%5B4%5D%7Ba%7D%20%29%20%20%5Cgeq%20%200)
Для решения этого неравенства используем метод рационализации(все необходимые ограничения мы уже наложили ранее):
Теперь необходимо исследовать полученное неравенство. Решаем его методом интервалов:
Отсюда уже видим:
1)Пусть
. Тогда
Здесь возникают следующие подслучаи(в зависимости от расположения точек x = 8 и x = a на числовой оси):
а)
Тогда неравенство решением имеет отрезок![[8,a]](https://tex.z-dn.net/?f=%5B8%2Ca%5D)
Очевидно, условие x > 0 для данного отрезка выполняется(поскольку, очевидно, в этом случае x > 8) и икс отличен от 1(по такой же причине).
То есть, в этом случае область определения функции состоит только из указанного отрезка. Чтобы в неём лежало ровно 7 целых точек необходимо, чтобы
. Правый конец не включаем, поскольку при a = 15 в области определения будет лежать и восьмая целая точка.
б)Пусть теперь
, а с учётом рассматриваемых а, 
. Тогда точка x = 8 лежит правее точки x = a и решение неравенства будет иметь вид: ![[a, 8]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ba%2C%208%5D)
.
Проверим выполнение остальных условий на данном отрезке. Поскольку, то 
заведомо. Оба ограничения здесь выполняются, а потому указанный отрезок и есть область определения нашей функции.
Очевидно, что ровно 7 точек на данном отрезке будут лишь, когда a ∈![(1,2]](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2C2%5D)
. Правый конец обязан входить, а вот левый обязан не входить, поскольку иначе на отрезке будет 8 целых точек. Поскольку все эти значения больше 1, то эти интервалы пойдут в ответ.
в)Пусть теперь
. Тогда получаем неравенство
, которое, очевидно, выполняется лишь в одной точке(x = 8). Значит, a = 8 условию задачи не удовлетворяет.
2)Пусть
. Тогда 
и неравенство преобразуется так:
Ясно, что случай a < 1 нас не устраивает вообще, поскольку неравенство будет иметь своими решениями лишь бесконечные интервалы и обеспечить наличие ровно 7 точек в области определения функции точно не удастся.
3)Пусть
. Тогда a - 1 = 0 и неравенство имеет вид
В этом случае неравенство выполняется ДЛЯ ЛЮБЫХ x. Ситуация та же самая. Обеспечить наличие в точности 7 точек в области определения мы не сможем.
Поэтому ответ задачи такой:
∈∪
Кроме того, отсюда же следует ограничение и на параметр:
Теперь преобразую подкоренное выражение таким образом:
Вспоминаем теперь о том, что корень чётной степени имеет смысл, если его подкоренное выражение неотрицательно, то есть, отсюда следует неравенство
Для решения этого неравенства используем метод рационализации(все необходимые ограничения мы уже наложили ранее):
Теперь необходимо исследовать полученное неравенство. Решаем его методом интервалов:
Отсюда уже видим:
1)Пусть
Здесь возникают следующие подслучаи(в зависимости от расположения точек x = 8 и x = a на числовой оси):
а)
Тогда неравенство решением имеет отрезок
Очевидно, условие x > 0 для данного отрезка выполняется(поскольку, очевидно, в этом случае x > 8) и икс отличен от 1(по такой же причине).
То есть, в этом случае область определения функции состоит только из указанного отрезка. Чтобы в неём лежало ровно 7 целых точек необходимо, чтобы
б)Пусть теперь
Проверим выполнение остальных условий на данном отрезке. Поскольку
Очевидно, что ровно 7 точек на данном отрезке будут лишь, когда a ∈
в)Пусть теперь
2)Пусть
Ясно, что случай a < 1 нас не устраивает вообще, поскольку неравенство будет иметь своими решениями лишь бесконечные интервалы и обеспечить наличие ровно 7 точек в области определения функции точно не удастся.
3)Пусть
В этом случае неравенство выполняется ДЛЯ ЛЮБЫХ x. Ситуация та же самая. Обеспечить наличие в точности 7 точек в области определения мы не сможем.
Поэтому ответ задачи такой: