Обозначим АВ - а;
треугольники KBL, KMA, KBC равны по двум сторонам и углу между ними:
LB=KC=AM=2a; KB=CM=AL=a; ∡А=∡В=∡С=120° - смежные с углами треугольника АВС; ⇒KL=LM=MK ⇒ΔKLM правильный.
SABC=a²sin60°/2;
SKLM=3*SKBL+SABC=3*2a*a*sin120°/2+a²*sin60°/2=(sin120°=sin60°)=
= 7a²*sin60°/2;
Отношение площадей треугольников - <span>7a²*sin60°/2 : </span>a²sin60°/2 = 7.
Тут вся хитрость в том, что угол между хордами равен полусумме дуг между концами хорд. То есть полусумма дуг A1D1 и B1C1 равна 90<span>°; это означает, что
</span>∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°;
Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому
∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1;
легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°;
то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник.
Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому
∠A1AO + ∠B1CO = 90°;
из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны.
Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO;
Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и
∠DOC1 = ∠B1BO;
Из этого подобия получается два соотношения
B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24;
BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12;
Отсюда стороны ABCD равны
AB = 18 + 4*12 = 66;
BC = 32 + 4*12 = 80;
CD = 32 + 12 = 44;
AD = 18 + 12 = 30;
Величина меньшего угла равна 69 градусов
т.к (180-42)/2=69
В моём детстве дружба ценилась очень дорого)))