Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.
АВ=2, АС=4 (так как АВ - катет против угла 30°.
ВС=√(АС²-АВ²)=√(16-4)=2√3.
В прямоугольном треугольнике ADB
DB=√(АD²+АВ²)=√(48+4)=√52=2√13.
BM=√(АM²+АВ²)=√(12+4)=√16=4.
<DBC=90° по теореме о трех перпендикулярах, так как
АВ(проекция DB) перпендикулярна ВС.
1) Sб=Sadc+Sadb+Sbdc =>
Sб=(1/2)(AD*AC+AD*AB+DB*BC)=(1/2)(16√+8√3+4√39).
Ответ: Sб=24√3+4√39.
2) Сечение ВМС прямоугольный треугольник, так как <MBC=90°,
так как плоскость АDB перпендикулярна плоскости АВС.
Sbmc=(1/2)*MB*BC=(1/2)*4*2√3=4√3.
Ответ: Sbmc=4√3.
3) Определение: "Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его
ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям)".
В нашем случае угол между плоскостями МВС и АВС измеряется
углом МВС по определению.
Sin(MBC)=AM/BM (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Sin(MBC)=2√3/4=√3/2. <MBC=arcsin(√3/2) = 60°.
Ответ: <MBC=60°.
4) Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной
ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость". Угол между прямой BC и плоскостью ADC - это
угол ВСА, так как плоскости ADC и ABC перпендикулярны и проекция
прямой ВС лежит на прямой АС.
<BCA=30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника АВС
равна 90°, а <BAC=60° - дано).
Ответ: <BCA =30° .
5) Плоскость АDB и плоскость ADC перпендикулярны плоскости АВС, так как прямая AD, лежащая в этих плоскостях, перпендикулярна плоскости АBС (дано). Плоскость MDC (ADC) перпендикулярна
плоскости ABС, ноНЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА плоскости AВD.
Плоскости МDC(ADC) и ABD образуют двугранный угол, измеряемый линейным углом ВАС (так как плоскость АВС перпендикулярна к обеим плоскостям), который равен 60° (дано).
через точку не лежащую на прямой можно провести только одну прямую параллельную данной
2. другой катет равен √13²-5²=√169-25=√144=12дм.
3. ак²=ар²+рк²
2/5 из 3 вычитаем 1 а так как 5 и 5 одинаковые числа мы их просто оставляем ответ 2/5
1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине С=120° (так как равные углы при основании равны по 30°, а сумма внутренних углов треугольника равнв 180°). Значит основание Н перпендикуляра ВН из точки В к стороне АС будет лежать на продолжении стороны АС.
В прямоугольном треугольнике CНВ (<H=90°) угол НСВ (смежный с углом С треугольники АВС) равен 180°-120°=60°. Тогда <HBC=30° и катет СН=5 (половина гипотенузы СВ).
По Пифагору ВН=√(ВС²-НС²)=√(10²-5²)=√75см. Тогда в прямоугольном треугольнике ВКН гипотенуза НК - расстояние от точки К до прямой АС (перпендикуляр к АС по теореме о трех перпендикулярах).
По Пифагору НК=√(ВН²-ВК²)=√(75+150)=15см.
Ответ: НК=15см.
2. 1) Точка М равноудалена от вершин треугольника,значит расстояния от основания перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость АВС также равны. Следовательно, проекция Н точки М на плоскость АВС находится в середине гипотенузы АВ треугольника АВС и отрезок МН, принадлежащий плоскости АМВ, перпендикулярен плоскости АВС.Следовательно, плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС, что и требовалось доказать.
2) Угол между плоскостями - двугранный угол - измеряется линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.Проведем плоскость МНР перпендикулярно ребру СВ двугранного угла между плоскостями АВС и СМВ. Для этого опустим перпендикуляр НР на прямую СВ и соединим точки М и Р. В прямоугольном треугольнике МРН <MPH - искомый угол, тангенс которого равен отношению МН/НР.
Гипотенуза АВ=4√2см (по Пифагору). Тогда СН=НВ=АН=2√2см.
НР- высота в равнобедренном треугольнике СНВ и НР=СН*НВ/СВ (свойство). НР=(2√2)*(2√2)/4=2см.
Tgα=МН/НР=2√3/2=√3. α=arctg√3 = 60°.
Ответ: угол равен 60°.
3) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Значит искомый угол - угол МСН, тангенс которого равен отношению МН/СН или tgβ=2√3/2√2 =√1,5. Угол β=arctg√1,5 ≈ 50,5°
Или так: по Пифагору МС=√(МН²+СН²)=√20=2√5см.
Тогда Sinβ = МН/МС=2√3/2√5 =√0,6. β=arcsin0,77 ≈ 50,5°.
Ответ: угол равен arcsin√0,6 ≈ 50,5°.
3***. Расстояние от середины стороны АВ до плоскости ВМС - это перпендикуляр НТ из прямого угла МНР (точка Н совпадает с точкой Е) к гипотенузе МР треугольника МРН. по свойству он равен
НТ=МН*НР/МР. МР=√(МН²+НР²)=√(12+4)=4. Тогда НТ=2√3*2/4=√3.
Ответ: расстояние равно √3.