Все числа от 1 до 75 делятся на три группы.
1) Целые числа, которые делятся на 3 без
остатка: 0, 3, 6, 9, 12, …72,75. Они представимы в виде n=3k, где kϵZ
2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 1: 1, 4, 7, 10,
13, …73. Они представимы в виде n=3k+1, где kϵZ
2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 2: 2, 5, 8, 11,
14, …74. Они представимы в виде n=3k+2, где kϵZ
Выясним, какие остатки имеют квадраты чисел каждой группы.
1) n²=(3k)²
Квадраты чисел первой группы делятся на 3 без остатка.
2) n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3*(3k²+2k)+1.
Квадраты чисел второй группы делятся на 3 с остатком
1.
3) n²=(3k+2)²=9k²+12k+4= 9k²+12k+3+1=3*(3k²+4k+1)+1.
Квадраты чисел третьей группы делятся на 3 с остатком
1.
Теперь найдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75, а затем вычтем сумму S₂ всех чисел, которые делятся на 3 без
остатка, и получим искомую сумму S всех
натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3
получается остаток, равный 1.
1) Hайдём
сумму S₁ всех чисел от
1 до 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
S= (a₁+an)*n/2
а₁ = 1
а₇₅= 75
n =
75
S₁= (1+75)*75/2
= 2850
2) Hайдём
сумму S₂ всех чисел от 3, 6, 9, …,72,
75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
S= (a₁+an)*n/2
n = 75:3=25
а₁ = 3
а₂₅= 75
S₂=
(3+75)*25/2 = 975
3) Hаконец, найдём сумму S = S₁ - S₂
S =
2850 - 975 = 1875
Ответ: 1875
<span> </span>
