1. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда , когда суммы длин его противоположных сторон равны.
2. Отрезки касательных к окружности , проведенных из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
Для начала найдём длину боковой стороны CD
Найдём её из прямоугольного треугольника COD (∠COD=90° по условию)
![CD= \sqrt{20^2+15^2} =25](https://tex.z-dn.net/?f=CD%3D+%5Csqrt%7B20%5E2%2B15%5E2%7D++%3D25)
Соединим теперь точку О с точками касания окружности со сторонами АВ и BD . По теореме, углы между радиусами этой окружностью и сторонами будут равны 90 градусов.
Получаем Четырехугольник OKAM две смежные стороны которого равны , а значит этот четырехугольник квадрат . (Три его угла равны 90 градусов, А - по условию, значит четырехугольник прямоугольный)
Теперь рассмотрим треугольник MOD
Он прямоугольный.
Тк как его гипотенуза OD равна 20 см, а катеты равны а и d , то
![a^2+d^2=20^2](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%2Bd%5E2%3D20%5E2)
Углы СDО и ODA равны по теореме. Значит имеем два подобных прямоугольных треугольника (по двум углам) ΔCOD и ΔDOM
Из подобия треугольников имеем:
![\frac{15}{a} = \frac{20}{d}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B15%7D%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7B20%7D%7Bd%7D++)
Но
![a^2+d^2=20^2](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%2Bd%5E2%3D20%5E2)
Из системы уравнений получаем:
а=12
d=16
c+d=25
c=9
Теперь рассмотрим ещё один четырехугольник KOPB
Аналогично доказываем, что он квадрат. Но, одна из его сторон равна а, значит b=a=12⇒
![P_A_B_C_D=2(a+b+c+d)=2(2a+c+d)=98](https://tex.z-dn.net/?f=P_A_B_C_D%3D2%28a%2Bb%2Bc%2Bd%29%3D2%282a%2Bc%2Bd%29%3D98)