Question

Написать три первых члена ряда. Найти интервал сходимости и исследовать ряд на сходимость на концах интервала.

Answer 1

Первые три члена ряда: $\frac{3x}{2 \sqrt[3]{2} } ;\,\, \frac{9x^2}{4 \sqrt[3]{3} } ;\,\,\,\, \frac{27x^3}{8 \sqrt[3]{4} }$

Найдем радиус сходимости, используя признак Даламбера
   $R= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n2^{n+1} \sqrt[3]{n+2} }{3^{n+1}2^n \sqrt[3]{n+1} } = \frac{2}{3}$

Тогда интервал сходимости ряда: $|x|\ \textless \ \frac{2}{3};$      ⇒      $-\frac{2}{3}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{2}{3}$

Исследуем теперь ряд на концах интервала
Если х=-2/3 то ряд примет вид:
          $\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^n}{ \sqrt[3]{n+1} }$
А этот ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Если х=2/3, то имеем сумму ряда $\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{ \sqrt[3]{n+1} }$ который является расходящимся.

Степенной ряд является сходящимся при $x \in [- \frac{2}{3} ;\frac{2}{3} )$