Cos²x + cosx = -sin²x
cos²x + sin²x = -cosx
1 = -cosx
cosx = -1
x = π + 2πk, k ∈ Z
Ответ:
Объяснение:
Системы линейных уравнений решаются тремя способами:
1) Методом подстановки;
2) Методом сложения;
3) Графическим методом.
Мы будем решать системы способом сложения.
![\left \{ {{5p - 3q = 0 | * 4} \atop {3p + 4q = 29 |*3}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B5p%20-%203q%20%3D%200%20%7C%20%2A%204%7D%20%5Catop%20%7B3p%20%2B%204q%20%3D%2029%20%7C%2A3%7D%7D%20%5Cright.)
Первое уравнение мы домножим на 4, второе - на 3.
Мы домножаем уравнения для того, чтобы уравнять переменные. (Иначе мы не решим систему).
Получим обновленную систему уравнений:
![\left \{ {{20p - 12q = 0} \atop {9p + 12q = 87}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B20p%20-%2012q%20%3D%200%7D%20%5Catop%20%7B9p%20%2B%2012q%20%3D%2087%7D%7D%20%5Cright.)
12q и -12q взаимно уничтожатся с помощью сложения. Остальные переменные тоже складываются.
В итоге имеем:
29p = 87
p = 3
Мы нашли значение переменной p. Переписываем это значение и берем одно из уравнений системы, которая была у нас сначала:
![\left \{ {{p = 3} \atop {3p + 4q = 29}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bp%20%3D%203%7D%20%5Catop%20%7B3p%20%2B%204q%20%3D%2029%7D%7D%20%5Cright.)
Я взял выражение 3p + 4q потому, что здесь все знаки положительные.
Подставляем значение p:
![\left \{ {{p = 3} \atop {3 * 3 + 4q = 29}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bp%20%3D%203%7D%20%5Catop%20%7B3%20%2A%203%20%2B%204q%20%3D%2029%7D%7D%20%5Cright.)
![\left \{ {{p = 3} \atop {9 + 4q = 29}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bp%20%3D%203%7D%20%5Catop%20%7B9%20%2B%204q%20%3D%2029%7D%7D%20%5Cright.)
Имеем:
4q = 20
q = 5
Система №2.
(Попробуй решить самостоятельно).
![\left \{ {{10p +7q = -2} \atop {2p - 22 = 5q |*5}} \right. \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B10p%20%2B7q%20%3D%20-2%7D%20%5Catop%20%7B2p%20-%2022%20%3D%205q%20%20%7C%2A5%7D%7D%20%5Cright.%20%5C%5C)
Домножаем второе уравнение на 5.
Имеем:
![\left \{ {{10p + 7q = -2} \atop {10p - 110 = 25q}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B10p%20%2B%207q%20%3D%20-2%7D%20%5Catop%20%7B10p%20-%20110%20%3D%2025q%7D%7D%20%5Cright.)
-110 переносим вправо, 25q - влево.
![\left \{ {{10 + 7q = -2} \atop {10p - 25q = 110}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B10%20%2B%207q%20%3D%20-2%7D%20%5Catop%20%7B10p%20-%2025q%20%3D%20110%7D%7D%20%5Cright.)
10p уничтожится вычитанием. Следовательно, уравнения вычитаем.
Имеем:
32q = -112
q = -3,5
![\left \{ {{q = -3,5} \atop {10p + 7 * ( -3,5) = -2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bq%20%3D%20-3%2C5%7D%20%5Catop%20%7B10p%20%2B%207%20%2A%20%28%20-3%2C5%29%20%3D%20-2%7D%7D%20%5Cright.)
![\left \{ {{10p - 24,5 = -2} \atop {p = 2,25}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B10p%20-%2024%2C5%20%3D%20-2%7D%20%5Catop%20%7Bp%20%3D%202%2C25%7D%7D%20%5Cright.)
Здесь делается все то же самое, что и в первой системе.
Весь основной материал я рассказал в начале.
Задача решена.
Понятно ли я объяснил задачи?
1) 3*4=12 (было слив первоначально). Ответ: 12. 2) Лишнее условие "Маша съела треть слив". 3) Новый вопрос: сколько слив съела Маша? Решение: 3*4=12; 12:3=4. Ответ: :.
Левая часть неравенства должна существовать, поэтому
a + x >= 0,
a - x >= 0
Переписываем систему в виде
-a <= x <= a,
|x| <= a
откуда видно, что a >= 0.
Можно сразу записать, что если a < 0, то решений нет.
Тогда обе части исходного неравенства неотрицательные, и можно возводить в квадрат.
a + x + 2sqrt(a^2 - x^2) + a - x > a^2
sqrt(a^2 - x^2) > a(a - 2)/2
Если правая часть отрицательна, то решение неравенства - все значения, при которых корень существует.
a(a - 2)/2 < 0 при 0 < a < 2, так что еще одна часть ответа такова: если 0 < a < 2, то -a <= x <= a.
Осталось рассмотреть случай, когда a(a - 2) >= 0. Тогда вновь можно возводить неравенство в квадрат.
a^2 - x^2 > (a^4 - 4a^3 + 4a^2)/4
x^2 < a^3 (4 - a)/4.
У этого неравенства есть шанс иметь решения, если правая часть строго положительна, поэтому предпоследняя часть ответа: если a = 0 или a >= 4, решений нет. Осталось рассмотреть последний случай 2 <= a < 4.
Заметим, что при таких a правая часть меньше a^2, ведь
a^3 (4 - a) / 4 / a^2 = a (4 - a) / 4 < 2 * (4 - 2) / 4 = 1 (известно, что квадратичная парабола a (4 - a) / 4 достигает максимального значения в вершине), поэтому все корни существуют, и последняя часть ответа: если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2.
Собираем всё в одно и получаем ответ.
<u>Ответ</u>. Если 0 < a < 2, то -a <= x <= a; если 2 <= a < 4, то -sqrt(a^3 (4 - a))/2 < x < sqrt(a^3 (4 - a))/2, для остальных a решений нет.