Question

В равнобедренный треугольник вписана окружность радиус которой равен 10 точка касания делит боковую сторону на отрезки длины которых относятся как 8:5 считая от вершины равнобедренного треугольника найдите площадь этого треугольника

Answer 1

ΔABC, стороны AВ=BC,
Вписанная окружность с центром О и радиусом R=10 касается сторон треугольника АВ, ВС и АС в точках Е, К, М.
По условию ВЕ/АЕ=ВК/КС=8/5
ВК=ВЕ=8х
АЕ=КС=5х
Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки:
АЕ=АМ=5х и МС=КС=5х
Получается, что стороны ΔАВС равны АВ=АЕ+ВЕ=13х, ВС=13х и АС=АМ+МС=5х+5х=10х.
Полупериметр ΔАВС р=(2АВ+АС)/2=(2*13х+10х)/2=18х
Формула радиуса вписанной окружности R 
R=Sавс/р=√(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)/р=√(18х-13х)²(18х-10х)/18х=√100х²/9=10х/3
х=3R/10=3
Тогда р=18*3=54
Sавс=рR=54*10=540