x^2+x-k=0
находим дискриминант:
D=1+4k
рассматриваем 3 случая:
1) D>0
![1+4k>0\\k>-\frac{1}{4} \\x_1=\frac{-1+\sqrt{1+4k}}{2} \\x_2=\frac{-1-\sqrt{1+4k}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B4k%3E0%5C%5Ck%3E-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5C%5Cx_1%3D%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%7B2%7D%20%5C%5Cx_2%3D%5Cfrac%7B-1-%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%7B2%7D)
проверяем условие - подставляем значения x1 и x2:
![x_1^{-2}+x_2^{-2}=\frac{7}{9} \\(\frac{2}{-1+\sqrt{1+4k}} )^2+(\frac{2}{-1-\sqrt{1+4k}} )^2=\frac{7}{9} \\\frac{4}{1+4k-2\sqrt{1+4k}+1} +\frac{4}{1+1+4k+2\sqrt{1+4k}} =\frac{7}{9} \\\frac{2}{1+2k-\sqrt{1+4k}} +\frac{2}{1+2k+\sqrt{1+4k}} =\frac{7}{9} \\2(\frac{1+2k+\sqrt{1+4k}+1+2k-\sqrt{1+4k}}{(1+2k)^2-(\sqrt{1+4k})^2} )=\frac{7}{9} \\2(\frac{2+4k}{4k^2+4k+1-1-4k} )=\frac{7}{9} \\4(\frac{2k+1}{4k^2} )=\frac{7}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5E%7B-2%7D%2Bx_2%5E%7B-2%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C%28%5Cfrac%7B2%7D%7B-1%2B%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%20%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7B2%7D%7B-1-%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%20%29%5E2%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C%5Cfrac%7B4%7D%7B1%2B4k-2%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%2B1%7D%20%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B1%2B1%2B4k%2B2%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2B2k-%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2B2k%2B%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C2%28%5Cfrac%7B1%2B2k%2B%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%2B1%2B2k-%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%7D%7B%281%2B2k%29%5E2-%28%5Csqrt%7B1%2B4k%7D%29%5E2%7D%20%29%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C2%28%5Cfrac%7B2%2B4k%7D%7B4k%5E2%2B4k%2B1-1-4k%7D%20%29%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C4%28%5Cfrac%7B2k%2B1%7D%7B4k%5E2%7D%20%29%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D)
![\frac{2k+1}{k^2} =\frac{7}{9} \\18k+9=7k^2\\7k^2-18k-9=0\\D=18^2+4*7*9=576=24^2\\k_1=\frac{18+24}{14} =3\\k_2=\frac{18-24}{14} =-\frac{3}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2k%2B1%7D%7Bk%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D%20%5C%5C18k%2B9%3D7k%5E2%5C%5C7k%5E2-18k-9%3D0%5C%5CD%3D18%5E2%2B4%2A7%2A9%3D576%3D24%5E2%5C%5Ck_1%3D%5Cfrac%7B18%2B24%7D%7B14%7D%20%3D3%5C%5Ck_2%3D%5Cfrac%7B18-24%7D%7B14%7D%20%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B7%7D)
проверяем:
k>-1/4
3>-1/4 - верно
-3/7>-1/4
3/7<1/4
12<7 - неверно, значит k=-3/7 не удовлетворяет условию
В итоге: k=3
2) D=0
![x_1=x_2=\frac{-1}{2} =-\frac{1}{2} \\](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3Dx_2%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%20%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C)
проверяем условие - подставляем значение x1=x2=-0,5:
(-0,5)^(-2)+(-0,5)^(-2)=7/9
4+4=7/9 - неверно, значит x1=x2=-0,5 не удовлетворяют условию
3) D<0
уравнение не имеет действительных корней
Ответ: 3
Решение во вложенииииииииииииииииииииииии
Производная сложной функции
Ответ:
![\frac{c^{3}-3c^{2}-42c+84}{(c^{2}- 6c+9)(c+3)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bc%5E%7B3%7D-3c%5E%7B2%7D-42c%2B84%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-%206c%2B9%29%28c%2B3%29%7D)
Объяснение:
![(\frac{1}{c^{2} - 9} + \frac{1}{c^{2} - 6c + 9} )+\frac{1}{(3-c)^{2}} + \frac{c+9}{c+3}](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E%7B2%7D%20-%209%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E%7B2%7D%20-%206c%20%2B%209%7D%20%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%283-c%29%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%2B9%7D%7Bc%2B3%7D)
Это задание в первую очередь ориентировано на проверку ваших знаний ФСУ или Формул Сокращённого Умножения.
Давайте просканируем пример на их наличие.
1.
- Это разность квадратов, а именно квадрата числа с и числа 3. Возможно вы зададите резонный вопрос - а зачем нам это отслеживать. В работе с дробями важно уметь находить взаимосвязи между знаменателями.
раскладывается рак (с-3)(с+3)
2.
- знаменатель второй дроби и является квадратом разности(смотрим по знаку перед вторым числом). Он раскладывается как (с-3)(с-3).
Что-то напоминает не так ли? Таким образом, с-3 это общий множитель обоих знаменателей. Значит нужно перемножит каждую дробь на оставшийся общий множитель другой дроби
![\frac{1}{c^{2} - 9} + \frac{1}{c^{2}-6c+9} = \frac{c-3}{(c^{2}-9)(c-3)} + \frac{c+3}{(c^{2}-6c+9)(c+3)} =\frac{2c}{(c-3)(с-3)(c+3)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E%7B2%7D%20-%209%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E%7B2%7D-6c%2B9%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bc-3%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-9%29%28c-3%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%2B3%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-6c%2B9%29%28c%2B3%29%7D%20%3D%5Cfrac%7B2c%7D%7B%28c-3%29%28%D1%81-3%29%28c%2B3%29%7D)
Я специально оставила дробь полностью раскрытой, т.к. она нам ещё может понадобиться.
3.
- аналогично пункту 2 квадрат разности. Раскладывается практически аналогично. Но т.к. от перемены мест слагаемых сумма не меняется это исправимо.
![\frac{2c}{(c-3)(c-3)(c+3)}+ \frac{1}{9 - 6c+c^{2}} = \frac{2c+c+3}{(c^{2}-6c+9)(c+3)}=\frac{3c+3}{(c^{2}-6c+9)(c+3)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2c%7D%7B%28c-3%29%28c-3%29%28c%2B3%29%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%20-%206c%2Bc%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2c%2Bc%2B3%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-6c%2B9%29%28c%2B3%29%7D%3D%5Cfrac%7B3c%2B3%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-6c%2B9%29%28c%2B3%29%7D)
Дальше приведём получившуюся дробь и оставшуюся к общему знаменателю.![\frac{3c+3}{(c^{2}-6c+9)(c+3)} + \frac{c+9}{c+3} = \frac{3c+3+(c+9)(c^{2}-6c+9)}{(c^{2}- 6c+9)(c+3)} = \frac{3c+3+c^{3}+ 9c^{2}-6c^{2} - 54c+9c+81}{(c^{2}- 6c+9)(c+3)} = \frac{c^{3}-3c^{2}-42c+84}{(c^{2}- 6c+9)(c+3)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3c%2B3%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-6c%2B9%29%28c%2B3%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%2B9%7D%7Bc%2B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3c%2B3%2B%28c%2B9%29%28c%5E%7B2%7D-6c%2B9%29%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-%206c%2B9%29%28c%2B3%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3c%2B3%2Bc%5E%7B3%7D%2B%209c%5E%7B2%7D-6c%5E%7B2%7D%20-%2054c%2B9c%2B81%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-%206c%2B9%29%28c%2B3%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bc%5E%7B3%7D-3c%5E%7B2%7D-42c%2B84%7D%7B%28c%5E%7B2%7D-%206c%2B9%29%28c%2B3%29%7D)