cos2a+sin²a/sin²a=(cos²a-sin²a-sin²a)/sin²a=cos²a/sin²a=ctg²a.
3а (2,5а3), (5ab2) • (0,4c3d) • 3/4 – это одночлены, выражение a + b одночленом не является, т. к. содержит в себе операцию сложения. Каждый одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить его в виде произведения числового множителя, стоящего на 1м месте, и степеней различных переменных. Стандартный вид одночлена: числовой множитель + переменная (например, 5а) , где числовой множитель называется коэффициентом одночлена, т. е. в одночлене 5а 5 является коэффициентом одночлена. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных. Произведением исходных одночленов называются все одночлены, записанные со знаком умножения между ними: 3а • (2,5а3).Закрепим материал. Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3а (2,5а3).Решение. 1. Стандартный вид одночлена подразумевает наличие коэффициента и переменной, т. е. наш многочлен должен принять вид Ха, где Х – коэффициент, а а – переменная. 2. Сгруппируем элементы так, чтобы отдельно оказались числа, отдельно – переменные (для этого нам нужно воспользоваться законами умножения) : 3а (2,5а3) = (3 • 2,5) • (а • а3) = 7,5 • а4 = 7,5а4, т. е. мы привели одночлен 3а (2,5а3) к его стандартному виду 7,5а4.Ответ. 7,5а4.Одночлены, которые мы получили, т. е. одночлены стандартного вида, называются подобными, а сложение и вычитание таких одночленов называется приведением подобных. Многочлен представляет собой сумму одночленов. Стандартным видом многочлена является многочлен, полученный в результате приведения всех одночленов к стандартной форме и приведения подобных. Пример. Приведем к стандартному виду многочлен (3a + 5b – 2c) + (2a – b + 4c).Решение. 1. Раскроем скобки. Перед обоими скобками стоит знак «+», поэтому знаки не меняются. Выражение примет вид: 3a + 5b – 2c + 2a – b + 4c.2. Приведем подобные: 3a + 2a + 5b – b – 2c + 4c = 5a + 4b + 2c.Ответ: 5a + 4b + 2c.Иногда для приведения многочлена к стандартному виду мы можем воспользоваться формулами сокращенного умножения, основанными на тождестве. Эти формулы необходимо запомнить, чтобы впоследствии ими можно было оперативно пользоваться. 1. (а + b)(а – b) = а2 – b2.2. (а + b)2 = а2 + 2аb + b2.3. (а – b)2 = а2 – 2аb + b2.4. (а + b)(а2 – аb + b2) = а3 + b3.5. (а – b) (а2 + аb + b2) = а3 – b3.6. (а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.7. (а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3.Рассмотрим несколько примеров на использование формул сокращенного умножения. Пример 1.(3х2 + 4y3)(3х2 – 4y3).Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения № 1. Получится, что перед нами «развернутая» разность квадратов, которую нужно «свернуть» в формулу: (3х2 + 4y3)(3х2 – 4y3) = (3х2)2 – (4y3) 2 = 9х4 – 16y6.Т. о. , (3х2 + 4y3)(3х2 – 4y3) = 9х4 – 16y6.Пример 2.(a + b – c) (a + b + c).Решение. 1. Сгруппируем компоненты в скобках так, чтобы получить разность квадратов:
(a + b – c) (a + b + c) = ((a + b) – c)((a + b) + c).
2. «Свернем» формулу разности квадратов и получим:
((a + b) – c)((a + b) + c) = (a + b)2 – с2.3. Раскроем скобки:
(a + b)2 – с2 = а2 + 2аb + b2 – с2.Т. о. , (a + b – c)(a + b + c) = а2 + 2аb + b2 – с2.Пример 3.(3а + 1)(9а2 – 3а + 1).Решение. Воспользуемся формулой №4 – формулой суммы кубов и «свернем» наше выражение:
(3а + 1)(9а2 – 3а + 1) = (3а) 3 + 1 = 27а3 + 1.Т. о. , (3а + 1)(9а2 – 3а + 1) = 27а3 + 1.
<span>[ссылка появится после проверки модератором]</span>
Левая часть представляет собой сумму неотрицательных слагаемых, эта сумма обращается в ноль тогда и только тогда, когда оба слагаемых суть нули, если хоть одно из них отлично от нуля, то вся сумма (левая часть) отлична от нуля (больше нуля). Таким образом данное уравнение равносильно системе:
{ (x^2-1)^2 = 0;
{ (x^2 - 6x -7)^2 = 0;
что равносильно
{ x^2-1 = 0;
{ x^2 - 6x - 7 = 0;
равносильно
{ x^2=1;
{x^2 - 6x - 7 = 0;
первое уравнение дает x1=1; или x2=-1;
x1 = 1, подставляем во второе уравнение последней системы:
1 - 6 - 7 = 0; <=> -12=0, ложное равенство, поэтому x1=1, не является решением системы.
x2 = -1; подставляем во второе уравнение:
(-1)^2 - 6*(-1) - 7 = 1+6-7=0, верное равенство, таким образом
x=-1 единственное решение системы.
Ответ. x=(-1).