Question

Решите пожалуйста с 1-4 пример, очень нужно.
прошу откликнетесь на помощь.

Answer 1

1) √x = ∛(3 - 2x)
Область определения: x >= 0
Возводим обе части в 6 степень.
x^3 = (3 - 2x)^2
x^3 = 4x^2 - 12x + 9
x^3 - 4x^2 + 12x - 9 = 0
x^3 - x^2 - 3x^2 + 3x + 9x - 9 = 0
(x - 1)(x^2 - 3x + 9) = 0
x1 = 1; квадратное уравнение корней не имеет.

2) 1 + sin x = |1 - √3*cos x|
a) При √3*cos x > 1 будет |1 - √3*cos x| = √3*cos x - 1
1 + sin x = √3*cos x - 1
√3*cos x - sin x = 2
Делим все на 2
√3/2*cos x - 1/2*sin x = 1
sin(pi/3)*cos x - cos(pi/3)*sin x = 1
sin(pi/3 - x) = 1
sin(x - pi/3) = -1
x - pi/3 = -pi/2 + 2pi*k
x = pi/3 - pi/2 + 2pi*k = -pi/6 + 2pi*k
Проверяем область определения
cos x = √3/2; √3*cos x = √3*√3/2 = 3/2 > 1 - подходит
x1 = -pi/6 + 2pi*k

b) При √3*cos x < 1 будет |1 - √3*cos x| = 1 - √3*cos x
1 + sin x = 1 - √3*cos x
sin x = -√3*cos x
tg x = -√3
x = -pi/3 + 2pi*k; cos x = 1/2
x = 2pi/3 + 2pi*k; cos x = -1/2
Проверяем область определения:
x2 = -pi/3 + 2pi*k; √3*cos x = √3/2 < 1 - подходит
x3 = 2pi/3 + 2pi*k; √3*cos x = -√3/2 < 1 - подходит

3) $\frac{cos^2(2x)}{ \sqrt{1-cos^2x} } = \frac{sin^2(2x)+1}{\sqrt{1-cos^2x} }$
Область определения cos^2 x =/= 1
cos x =/= 1; x =/= 2pi*k; cos x =/= -1; x =/= pi + 2pi*k
Область определения: x =/= pi*k
Умножаем все на $\sqrt{1-cos^2x}$
cos^2(2x) = sin^2(2x) + 1
cos^2(2x) - sin^2(2x) = 1
cos(4x) = 1
4x = 2pi*n
x = pi/2*n
Но по области определения x =/= pi*k, поэтому
x = pi/2 + pi*n

4) $\frac{1}{x^4}+ \frac{3}{x^3}+ \frac{4}{x^2} + \frac{3}{x} +1=0$
Умножаем все на x^2
1/x^2 + 3/x + 4 + 3x + x^2 = 0
(x^2 + 1/x^2) + 3(x + 1/x) + 4 = 0
Замена x + 1/x = y; тогда y^2 = x^2 + 1/x^2 + 2x*1/x, то есть
x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2
y^2 - 2 + 3y + 4 = 0
y^2 + 3y + 2 = 0
(y + 1)(y + 2) = 0
y1 = x + 1/x = -1; x^2 + x + 1 = 0; корней нет
y2 = x + 1/x = -2; x^2 + 2x + 1 = 0; x1 = x2 = -1
Ответ: x = -1

Answer 2

1.
√x =∛(3-2x) ;  ОДЗ:  x ≥ 0.
(√x)⁶ = (∛(3-2x))⁶;
x³ =(3 -2x)² ;
x³ =9 -12x + 4x² ;
x³ - 4x² +12x -9 =0 ;  
x =1 корень  (1-4+12-9 =0) 
(x -1)(x² -3x +9) =0 ;
x² -3x +9 =0  не имеет действительных корней (D =3² -4*9 = -27<0).

ответ: 1.
--------
2.
1+sinx =| 1 -√3cosx| ;
а) 1 -√3cosx  < 0.
---
1+sinx =√3cosx -1;
√3cosx - sinx =2 ;
2cos(x +π/6) =2 ;
cos(x +π/6) =1⇒ x + π/6 =2πn , n∈Z. ⇔x = - π/6 +2πn , n∈Z.
---
б) 1 -√3cosx  ≥ 0.
---
1+sinx = 1 -√3cosx ;
sinx = -√3cosx  ;
tqx = -√3 ⇒ x = -π/3 +πk , k ∈Z.
--------
3.
(cos²2x)/√(1-cos²x) =(sin²2x +1)√(1-cos²x) ;
⇔{ cos²2x =sin²2x +1; 1-cos²x≠0.⇔{ cos²2x -sin²2x=1; cos²x≠ 1.
{ cos²2x -sin²2x=1; (1+cos2x)/2 ≠1.⇔{ cos4x=1; cos2x ≠1.⇔
{4x =2πn ; 2x ≠2πk , n∈Z , k ∈Z.⇔ {x =πn/2 ; x ≠πk , n∈Z , k ∈Z.⇒
x =π(2m+1)/2  , m ∈Z.
x =π/2 +πm , m ∈Z.
--------
4.
1/x⁴ +3/x³ +4/x² +3/x +1 =0 ; | *x²  * * *  ОДЗ:  x ≠ 0. * * *
1/x² +3/x³ +4 +3x +x² =0;
(x²+1/x²) +3(x + 1/x) +4 =0 ;
(x+1/x)² +3(x + 1/x) +2 =0 ; * * * t =x + 1/x * * *
t² +3t +2 =0 ⇒ [ t = -1;t =-2 .
x + 1/x = - 1 ⇔x² + x +1=0  не имеет решения ;
x + 1/x = - 2⇒(x +1)² =0 ⇒x = -1.
ответ:  -1.
--------
5.
6^(Log_6 (x-2) = x³ -5x² +5x -2 ;
* * *  ОДЗ:  x>2. * * *
x-2 =x³ -5x² +5x -2 ;
0=x³ -5x² +4x  ;
x(x² -5x+4) =0 ;
x(x-1)(x-4) =0  ;

ответ:  4.
--------
6.
(1-tq²x)/(1+tq²x) = -sin2x+1 ;
cos²x - sin²x = -sin2x+1 ;
cos2x -sin2x =1 ;
√2cos(2x +π/4) =1 ;
cos(2x +π/4) =1/√2 ;
[2x +π/4 = -π/4 +2πn ; 2x +π/4 = π/4 +2πn  , n∈Z.
[x = -π/4 +πn ; x  = πn  , n∈Z.

ответ:  -π/4 +πn ; πn  , n∈Z.