Question

Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны соответственно АВ=1, ВС=2, СD=3 и AD=4. Найдите диагональ BD. Максимальное количество баллов, если можно с решением, помните пожалуйста!

Answer 1

Составляем теорему косинусов для двух треугольников, образованных сторонами четырёхугольника и диагональю
учитывая тот факт, что сумма противоположных углов во вписанном четырёхугольнике равна π, а cos(π-α) = -cos(α)
d² = 1² + 4² - 2*1*4*cos(α)
d² = 2² + 3² + 2*2*3*cos(α)
---
d² = 1 + 16 - 8*cos(α)
d² = 4 + 9 + 12*cos(α)
---
d² = 17 - 8*cos(α)
d² = 13 + 12*cos(α)
вычтем из второго первое
0 = 13 + 12*cos(α) - 17 + 8*cos(α)
4 = 20*cos(α)
cos(α) = 1/5
---
d² = 17 - 8*cos(α)
d² = 17 - 8/5 = 85/5 - 8/5 = 77/5
d = √(77/5)