Question

Диагонали ромба равны 12 см и 16 см.Точка М, расположенная вне плоскости ромба,удалена от всех сторон ромба на 8 см.Найти рассто

яние от точки М до плоскости ромба.

Answer 1

Пусть МО - перпендикуляр к плоскости ромба.

В ромбе проведем ОК, ОН, ОР и ОТ  - перпендикуляры к соответствующим сторонам ромба. Эти отрезки - проекции наклонных МК, МН, МР и МТ на плоскость ромба. По теореме о трех перпендикулярах наклонные так же перпендикулярны сторонам ромба.
Расстояние от точки М до стороны ромба - длина перпендикуляра, проведенного из точки М к стороне.
Значит МК = МН = МР = МТ = 8 см - расстояния от точки М до сторон ромба.

На рисунке красные треугольники равны по гипотенузе и катету (МК = МН = МР = МТ по условию, МО - общий катет) , значит
ОН = ОК = ОР = ОТ , тогда точка О - центр окружности, вписанной в ромб, значит О совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам:
АО = АС/2 = 8 см
ВО = BD/2 = 6 см
ΔАОВ: по теореме Пифагора АВ = √(АО² + ВО²) = √(64 + 36) = 10 см
Saob = 1/2 · AO · BO = 1/2 · AB · OK
8 · 6 = 10 · OK
OK = 8 · 6 / 10 = 4,8  см

ΔМОК: по теореме Пифагора
             МО = √(МК² - ОК²) = √(64 - 23,04) = √40,96 = 6,4 см