Ответ:
![A_1A_3=12sin67,5^{\circ}\\ \\ A_1A_4=6\sqrt{8sin^267,5^{\circ}-1}\\ \\ A_1A_5=12\sqrt{2}sin67,5^{\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=A_1A_3%3D12sin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D%5C%5C%20%5C%5C%20A_1A_4%3D6%5Csqrt%7B8sin%5E267%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D-1%7D%5C%5C%20%5C%5C%20A_1A_5%3D12%5Csqrt%7B2%7Dsin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D)
Объяснение:
<em>Пусть O -- центр правильного многоугольника.</em>
<em>Если из точки O провести отрезки OA₁, OA₂,..., ОA₈, то получится 8 равных равнобедренных треугольников (по трём сторонам). Углы при вершинах этих треугольников будут равны и в сумме давать 360°. Тогда:</em>
1. ![\angle A_1OA_2=\frac{360^{\circ}}{8}= 45^{\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle%20A_1OA_2%3D%5Cfrac%7B360%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%7B8%7D%3D%2045%5E%7B%5Ccirc%7D)
<em>Рассмотрим </em>ΔOA₁A₂<em>:</em>
A₁A₂ = 6, ∠O = 45°
∠A₁ = ∠A₂ (свойство р/б Δ)
![\angle A_1=\frac{180^{\circ}-\angle O}{2} =\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2} =67,5^{\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle%20A_1%3D%5Cfrac%7B180%5E%7B%5Ccirc%7D-%5Cangle%20O%7D%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B180%5E%7B%5Ccirc%7D-45%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%7B2%7D%20%3D67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D)
<em>Применим теорему синусов:</em>
![\frac{A_1A_2}{sin\angle O}=\frac{A_2O}{sin\angle A_1}\\ \\ \frac{6}{sin 45^{\circ}}=\frac{A_2O}{sin67,5^{\circ}}\\ \\ A_2O=\frac{6sin67,5^{\circ}}{sin45^{\circ}}=\frac{6sin67,5^{\circ}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=6\sqrt{2}sin67,5^{\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BA_1A_2%7D%7Bsin%5Cangle%20O%7D%3D%5Cfrac%7BA_2O%7D%7Bsin%5Cangle%20A_1%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B6%7D%7Bsin%2045%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%3D%5Cfrac%7BA_2O%7D%7Bsin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%5C%5C%20%5C%5C%20A_2O%3D%5Cfrac%7B6sin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%7Bsin45%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%3D%5Cfrac%7B6sin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7D%3D6%5Csqrt%7B2%7Dsin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D)
2. <u>A₁A₅</u> = 2A₁O = 2 * 6√2 sin67,5° = <u>12√2 sin67,5°</u>
3<em>. </em><em>Рассмотрим ΔA₁A₃O:</em>
∠A₁OA₃ = 2∠A₁OA₂ = 90°
A₁O = OA₃ = 6√2 sin67,5°
<em>В р/б прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2, т.е.</em>
<u>A₁A₃</u> = √2 * 6√2 sin67,5° = <u>12 sin67,5°</u>
4. <em>Рассмотрим ΔA₁A₄A₅:</em>
A₁A₅ = 12√2 sin67,5°, A₄A₅=6
∠A₁A₄A₅ = 90°
<em>По теореме Пифагора найдём гипотенузу A₁A₄:</em>
![A_1A_4=\sqrt{(A_1A_5)^2-(A_4A_5)^2}=\sqrt{(12\sqrt{2}sin67,5^{\circ})^2-6^2}=\\ \\ =\sqrt{144\cdot2sin^267,5^{\circ}-36}=\sqrt{36(8sin^267,5^{\circ}-1)}=6\sqrt{8sin^267,5^{\circ}-1}](https://tex.z-dn.net/?f=A_1A_4%3D%5Csqrt%7B%28A_1A_5%29%5E2-%28A_4A_5%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B%2812%5Csqrt%7B2%7Dsin67%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D%29%5E2-6%5E2%7D%3D%5C%5C%20%5C%5C%20%3D%5Csqrt%7B144%5Ccdot2sin%5E267%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D-36%7D%3D%5Csqrt%7B36%288sin%5E267%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D-1%29%7D%3D6%5Csqrt%7B8sin%5E267%2C5%5E%7B%5Ccirc%7D-1%7D)