1) сумма углов треугольника 180 гр.
<em><span>Пусть </span>ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину<span> </span>B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой<span> </span>BC<span>.Углы </span>DBC<span> и </span>ACB<span> равны как внутренние накрест лежащие,( при секущей </span>BC<span> и параллельными прямыми </span>AC<span> и </span>BD)<span>. => сумма углов треугольника при вершинах </span>B<span> и </span>С<span> равна углу </span>ABD<span>.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов </span>ABD<span> и </span>BAC<span>. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных </span>AC<span> и </span>BD<span> при секущей </span>AB<span>, то их сумма равна 180°. </span></em>
<span>2)<em>Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные угольники равны.</em></span>
<em><em>построим два прямоугольных треугольника АВС и А'В'С', у которых углы С и С' — прямые, катеты АС и A'C' равны, гипотенузы АВ и А'В' также равны.</em></em>
Проведём прямую MN и отметим на ней точку С, из этой точки проведём перпендикуляр СК к прямой MN. Затем прямой угол треугольника ABC наложим на прямой угол КСМ так, чтобы вершины их совместились и катет АС пошёл по лучу СК, тогда катет ВС пойдёт по лучу СМ. Прямой угол треугольника А'В'С' наложим на прямой угол KCN так, чтобы вершины их совместились и катет А'С' пошёл по лучу СК, тогда катет С'В' пойдёт по лучу CN. Вершины А и А' совпадут вследствие равенства катетов АС и А'С'.
Треугольники АВС и А'В'С' составят вместе равнобедренный треугольник ВАВ', в котором АС окажется высотой и биссектрисой, а значит и осью симметрии треугольника ВАВ' Из этого следует, что <u>/\</u> АВС = <u>/\</u> А'В'С'.
3)угол, <em />смежный с углом треугольника при этой вершине. <span>Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним</span>
Доказательство.<span> Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике </span>
<span>∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. </span>
<span>Отсюда следует </span>
<span>∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD </span>
4)
<span>Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют </span>наклонной <span>к этой прямой.</span>
<span>5)</span>
<em>Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол</em>.
Пусть в <u>/\</u> АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС.Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.
Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.
Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.
Так как <u>/ </u>ВСD = <u>/ </u>ВDС, то и угол ВСD больше угла А: <u>/ </u>ВСD > <u>/ </u>A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и больше угла A.