Очевидно, последовательность возрастающая, т.е. каждый ее последующий член больше предыдущего, запомним это. Ну а теперь приступим к решению.
а) заменим а5 на (а4 + а3), в результате чего получим 4*а4 + 4*а3 = 7*а4, откуда а3 = 0,75а4. Таким образом, при любом а4, кратном четырем, данное равенство будет соблюдаться. Например, при а4 = 4 а3 = 3, а5 = 3 + 4 = 7. 4*а5 = 28, 7*а4 = 28, как видим, все верно, то есть равенство 4*а5 = 7*а4 может выполняться;
б) проделываем ровно те же манипуляции, что и в предыдущем пункте, и получаем а3 = 0,4*а4. То есть равенство 5*а5 = 7*а4 будет соблюдаться при любом а4, кратном пяти. К примеру, а4 =20, тогда а3 = 8, а5 = 28, 5*а5 = 140, 7*а4 = 140. Таким образом, и равенство 5*а5 = 7*а4 также может выполняться;
в) из 6*n*a(n+1) = (n + 24)*a(n) получаем а(n) = 6*n*a(n+1)/(n² + 24). Поскольку последовательность возрастающая, необходимо, чтобы (6n/(n² + 24)) было меньше 1, и (a(n+1) - a(n)) было меньше a(n). Первое неравенство выполняется при любом натуральном n, а из указанного выше уравнения и второго неравенства составим систему
{ а(n) = 6*n*a(n+1)/(n² + 24),
{ a(n) > 0,5*a(n+1).
Из нее получим 6n*a(n+1)/(n² + 24) > 0,5a(n+1) или n² – 12n + 24 < 0. Решением данного неравенства будут натуральные числа из диапазона (6 - √12; 6 + √12), ну а наибольшим натуральным числом из этого промежутка является 9. Таким образом, наибольшим натуральным n, при котором выполняется равенство 6*n*a(n+1) = (n² + 24)*a(n), является n = 9.
