Question

Докажите,что прямая ,содержащая середины противоположных сторон параллелограмма,проходит через точку пересечения его диагоналей.

Answer 1

В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся на две равные части.

По теореме Фалеса -если параллельные прямые пересекают стороны угла на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают на другой стороне также равные отрезки.

А так как одна диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника., то то на противоположной стороне будет таже ситуация

Answer 2

Пусть дан параллелограмм АВСД (АД // ВС), К и М - середины сторон АВ и СД соответственно, О - точка пересечения диагоналей

Т.к. АВ=СД, то АК=ДМ (как половины равных отрезков)

Значит, АКМД - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

=> АД //КМ

По теореме Фалеса для угла АСД: при СМ=ДМ и АД // КМ прямая КМ должна пройти через середину АС, а это и есть точка пересечения диагоналей - точка О.

..........................................................................................................................