Эти треугольники подобны по двум углам (угол N первого и угол K второго прямые, а угол B у них общий)
Проекция диагонали куба на плоскость основания - это диагональ основания. Пусть ребро куба равно Х. Тогда по Пифагору квадрат диагонали основания равен 2Х², а диагональ основания = Х*√2.
По Пифагору квадрат диагонали куба равен 36 = Х² + 2Х² = 3Х², откуда ребро куба Х=2√3.
Косинус угла между диагональю куба и плоскостью основания равен отношению диагонали основания к диагонали куба, то есть Х√2/6 или (2√3*√2)/6 = 2√6/6= 0,816.
Основания этой пирамиды - правильные треугольники и лежат в параллельных плоскостях.
Центры оснований О и Н - центры описанных около них окружностей, т.к. являются точками пересечения срединных перпендикуляров.
<em>Радиус описанной окружности правильного треугольника R=a/√3 </em>⇒
А1О=3:√3=√3 дм
AH=12:√3=4√3 дм
Опустим из вершины А1 перпендикуляр А1К на нижнее основание. А1К=ОН ( высоте пирамиды, т.к. расстояние между параллельными плоскостями одинаково в любой точке).
АК=АН-А1О=4√3-√3=3√3
По т.Пифагора
A1К=√(АА1²-АК²)=√(36-27)=3.
Высота ОН=А1К=3