ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы, следовательно, равны 45°. Найдём гипотенузу AC из определения синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе). У угла 45° синус равен
.
![\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BBC%7D%7BAC%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D)
![\frac{2\sqrt{2}}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7BAC%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D)
![AC*\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=AC%2A%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D2%5Csqrt%7B2%7D)
![AC=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%3D4)
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Так как BD перпендикулярна плоскости ABC, то угол ABD = углу CBD = 90°. AB = BC из условия, BD - общая сторона. Значит, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (т.е. по двум сторонам и углу между ними). Значит, AD = DC и треугольник ADC - равнобедренный.
Найдём CD по теореме Пифагора.
![CD=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{8+5}=\sqrt{13}](https://tex.z-dn.net/?f=CD%3D%5Csqrt%7B%282%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Csqrt%7B5%7D%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B8%2B5%7D%3D%5Csqrt%7B13%7D)
Если BM - высота, то её длина должна определяться по формуле:
. Так как в равнобедренном треугольнике высота - это ещё и медиана, и биссектриса, то получим также, что
(т.к. высота разобьёт равнобедренный прямоугольный треугольник на два одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника).
![\frac{2\sqrt{2}*2\sqrt{2}}{4}=\frac{4}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%2A2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D)
Так как 2 = 2, BM - высота, т.е. перпендикулярна стороне AC.
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах, DM также будет перпендикулярна AC. Площадь треугольника ADC - это полупроизведение его основания на высоту (т.е. DM).
Найдём DM из треугольника DBM по теореме Пифагора.
![DM=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3](https://tex.z-dn.net/?f=DM%3D%5Csqrt%7B2%5E2%2B%28%5Csqrt%7B5%7D%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B4%2B5%7D%3D%5Csqrt%7B9%7D%3D3)
Найдём площадь треугольника ADC.
![S=\frac{1}{2}*4*3=6](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2A4%2A3%3D6)
Ответ: 6