Question

Решить неравенство!!!log2x 0,25 больше либо равно log2 32x-1

Answer 1

$log _{2x}0,25 \geq log _{2} 32x-1$
ОДЗ: х>0   х≠1/2
Переходим к основанию 2 в первом выражении
$\frac{log _{2}0,25}{log _{2}2x} \geq log _{2} 32x-1,$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
$\frac{log _{2}0,25}{log _{2}2+log_{2}x} \geq log _{2} 32+log_{2}x-1, \\ \frac{-2}{1+log_{2}x} \geq 5+log_{2}x-1 \\ \frac{-2}{1+log_{2}x} \geq 4+log_{2}x,$
Замена
$log_{2}x=t \\ \frac{-2}{1+t} \geq 4+t, \\ \frac{-2}{1+t} -4-t \geq0, \\ \frac{-2-4-4t-t-t ^{2} }{1+t} \geq 0, \\ \frac{-t ^{2}-5t-6 }{1+t} \geq 0, \\ \frac{t ^{2}+5t+6 }{1+t} \leq 0, \\ \frac{(t +2)(t+3) }{1+t} \leq 0$
Решаем неравенство методом интервалов:
         _                  +                        _                  +
-------------(-3)---------------(-2)-------------(-1)----------
t<-3         или      -2 < t < -1
$1)log_{2}x<-3$      или      $2)-2 <log_{2}x<-1$
$1)log_{2}x<-3\cdot log_{2}2, \\ log_{2}x<\cdot log_{2}2 ^{-3} , \\ x< \frac{1}{8}$
или
$2) -2 <log_{2}x<-1, \\-2\cdot log_{2}2 <log_{2}x<-1\cdot log_{2}2, \\log_{2}2 ^{-2}<log_{2}x<log_{2}2 ^{-1} , \\\frac{1}{4}<x< \frac{1}{2}$