Решение
<span>1.
а) у = (x - 2)²/(x+1)</span>
Находим первую производную функции:
y ` = - (x - 2)/(x + 1)² + (2x - 4)/(x + 1)
или
y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)²
Приравниваем ее к нулю:
<span>[(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² = 0
</span>(x - 2)*(x + 4) = 0 , x ≠ 0
x₁<span> = - 4</span>
x₂<span> = 2</span>
<span>Вычисляем значения функции </span>
f(- 4) = -12
f(2) = 0
Ответ: fmin<span> = -12, f</span>max<span> = 0</span>
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y `` = [2* (x - 2)²/(x + 1)³ + 2/(x + 1) - (4x - 8)/(x + 1)²
или
y `` = 18/(x + 1)³
Вычисляем:
y `` =(- 4) = - 2/3 < 0
значит эта точка - максимума функции.
y`` (2) = 2/3 > 0
значит эта точка - минимума функции.
б) <span>промежутки монотонности функции
</span>y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)²
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(x - 2) * (x+4) = 0
Откуда:
x₁ = - 4
x₂ = 2
(-∞ ;-4) f'(x) > 0 <span>функция возрастает
</span> (-4; -1) f'(x) < 0 <span>функция убывает
</span><span> </span>(-1; 2) f'(x) < 0 <span>функция убывает
</span><span>(2; +∞) <span> f'(x) > 0 </span>функция возрастает</span>
В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет
знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -4 - точка максимума.
В окрестности точки x = 2 производная функции меняет
знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.
2.
а) <span>у = √х - х
</span>Находим первую производную функции:
y ` = - 1 + 1/2√x
Приравниваем ее к нулю:
<span>- 1 + 1/2√x = 0
</span>√x = 2/2
x = 1/4
<span>Вычисляем значения функции </span>
f(1/4) = 1/4
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y `` = - 1 / (4x³/²)
Вычисляем:
y `` (1/4) = - 2 < 0
значит эта точка - максимума функции.
б) <span>промежутки монотонности функции
</span>y ` =- 1 + 1/2√x
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
- 1 + 1/2√x = 0
Откуда:
x = 1/4
(-∞ ;1/4) f'(x) > 0 <span>функция возрастает</span><span>
</span><span>(1/4; +∞) f'(x) < 0 функция убывает</span>
В окрестности точки x = 1/4 производная функции меняет
знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1/4 - точка максимума.
<span>1) решение уравнения </span>
<span>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=840 </span>
<span>(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=840 </span>
<span>t=x^2-5x+4 </span>
<span>t(t+2)=840 </span>
<span>t^2+2t-840=0 </span>
<span>t1=-30 t2=28 </span>
<span>x^2-5x+4=-30 x^2-5x+4=28 </span>
<span>x^2-5x+34=0 x^2-5x-24=0 </span>
<span>действ. корней нет x1=-3 x2=8 </span>
Вроде бы всего 10 членов арифметической прогрессии
