Question

Решите пожалуйста)
1)Lim (x^3-+4x^2+5x+2)/(x^3-3x-2)
x->-1
2)Lim ln(1-3x)/((sqrt8x+4)-2)
x->0
3)lim (4^x-2^7x)/(tg3x-x)
x->0
4)lim (sin2x/sin3x)^x2
x->0

Answer 1

Решение
1) Lim (x^3-+4x^2+5x+2)/(x^3-3x-2)
x->-1
x³ - 3x - 2 = 0
x = - 1
  x³ - 3x - 2      I x + 1
-(x³ + x²)          x²  - x - 2 = (x + 1)(x -  2)
- x² - 3x
-(-x ² - x)
- 2x - 2
-(-2x - 2)
       0
x³ - 3x - 2 = (x + 1)*(x + 1) (x + 2) = (x + 1)²(x - 2)
x^3+4x^2+5x+2 = 0
x = - 1
  x³ + 4x² + 5x + 2        I x + 1
-(x³ + x²)                       x²  + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
        3x² + 5x
       -(3x² + 3x)
                 2x + 2
               -(2x + 2)
                        0
x³ + 4x² + 5x + 2   = (x + 1)²(x + 2)
limx-->- 1 [ (x + 1)²(x + 2)] / [(x + 1)²(x - 2)] =
=  limx-->- 1 (x + 2) / (x - 2) =  - (1 /3 )

2)  Lim ln(1-3x)/((sqrt8x+4)-2)
x->0
Используем правило Лопиталя.  Будем брать производные от числителя и знаменателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
[ln(1 - 3x)]` = - 3/(1-3x)
[√(8x + 4) - 2]` = 8/2√(8x + 4) = 4/√(8x + 4)
limx-->0 [- 3*√(8x + 4] / [4*(1 - 3x) = - 6/4 = - 3/2

3)   lim (4^x-2^7x)/(tg3x-x)
x->0
(4^x-2^7)` = 4^x*ln4 - 2^7x*ln2 
limx-->0 (4^x*ln4 - 2^7x*ln2 ) = 4ln4 - 2ln2
(tg3x - x)` = 3/cos3x - 1
limx--> 0 (3/cos3x - 1) = 3 - 1 = 2
lim x-->0 (4^x-2^7x)/(tg3x-x) = (4ln4 - 2ln2)/2 = 2ln4 - ln2

4) lim x--> 0 (sin2x/sin3x)^x2
применим первый замечательный предел:  [ limx--> 0 sinx/x = 1 ]
 lim x--> 0 [2*(sin2x/2x)] * limx--> 0 [(1/3)*(sin3x)/3x] = 2/3
=