При нахождении предела возникает неопределенность (0/0), которую необходимо раскрыть. Здесь можно поступать разными способами, но проще всего использовать правило Лопиталя: если вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, то предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Найдем эти производные. Пусть
![f(x) = \sqrt{8} - \sqrt{8+x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20%5Csqrt%7B8%7D%20-%20%5Csqrt%7B8%2Bx%5E2%7D)
Тогда производная этой функции:
![f'(x) = (\sqrt{8})' - \frac{1}{2\sqrt{8+x^2} } *(8+x^2)' = -\frac{x}{\sqrt{8+x^2}} .](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%20%3D%20%28%5Csqrt%7B8%7D%29%27%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B8%2Bx%5E2%7D%20%7D%20%2A%288%2Bx%5E2%29%27%20%3D%20-%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B8%2Bx%5E2%7D%7D%20.)
Рассуждая аналогичным образом, получаем для знаменателя:
![g(x) = 7 - \sqrt{49 + x}](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%207%20-%20%5Csqrt%7B49%20%2B%20x%7D)
![g'(x) = - \frac{1}{2\sqrt{49+x} }](https://tex.z-dn.net/?f=g%27%28x%29%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B49%2Bx%7D%20%7D)
Применяем правило Лопиталя:
![\lim_{} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{} \frac{2x\sqrt{49+x} }{\sqrt{8+x^2}} = \frac{2*0*\sqrt{49+0} }{\sqrt{8+0}} = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7B%7D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%7D%20%5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bg%27%28x%29%7D%20%3D%20%20%5Clim_%7B%7D%20%5Cfrac%7B2x%5Csqrt%7B49%2Bx%7D%20%7D%7B%5Csqrt%7B8%2Bx%5E2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%2A0%2A%5Csqrt%7B49%2B0%7D%20%7D%7B%5Csqrt%7B8%2B0%7D%7D%20%3D%200)
Ответ: 0.