Слово "пора" в данном вопросе - имя существительное,но оно может выступать и в роли наречия "порой" или "порою". В разговорной речи употребимы оба варианта и мы можем найти множество тому подтверждений у классиков.
Другое дело, что нам порой/порою то или иное слово хочется, не задумываясь о правилах, написать именно так, как слышится. Не стоит поддаваться искушению,лучше всего изменить слово по падежам и сразу всё встанет на свои места:
и.п. (есть что?)осенняя пора
р.п.(нет чего?) осенней поры
д.п. (дать чему?) осенней поре
в.п. (вижу что?) осеннюю пору
т.п. (доволен чем?) осенней порой/порою
п.п. (думаю о чём?)об осенней поре
Таким образом, правильно будет : осенней порой, но так как это песня, то пропеть можно и осеннею порою - это точно так же, как и "студёною зимой" и "зелёною весной" в песне про Марусю.
А вот, вариант: осеннюю порой/порою будет не правильным, потому что прилагательное и существительное не согласуются между собой по падежам.