"Есмь" - это устаревшая форма спряжения глагола "быть" в первом лице единственного числа настоящего времени. Парадигму спряжения глагола (в том числе и устаревшие формы) можно посмотреть здесь.
"Быть" - это не просто глагол, а глагол-связка, копула. Сам-то он по большому счёту почти ничего не выражает, только констатирует факт существования кого-либо или чего-либо, поэтому его столь сложно описать. В современном русском языке сохранился лишь в прошедшем и будущем временах, поскольку грамматическая категория времени может быть выражена только глаголом или особыми формами глаголов - причастием и деепричастием. Таким образом, ради выражения будущности события или его свершения в прошлом, нужно употребить глагол-связку, если же глагола-связки нет вовсе, то время по умолчанию считается настоящим.
"Азъ есмь" - это то, что по-английски переводится как "I am". Камень преткновения для многих русскоязычных, изучающих английский. Люди, родной язык которых буквально напичкан спряжениями или склонениями практически всех частей речи, приходят в конфуз и трепещут от одной мысли о необходимости запомнить разницу между am, is и are. При этом глагол to be - один из немногих сохранивших остатки форм спряжения в английском, в то время как его русский коллега "быть" исчез из языка в личных формах настоящего времени. Именно необходимость не только спрягать, но и вообще употреблять "ненужный", "само собой разумеющийся по умолчанию" глагол to be становится проблемой для тех носителей русского языка, которые думают, что овладеть другим языком - это лишь выучить кучу слов, а не переключить собственное мышление на иную систему.
