Какие есть примеры существования ленты Мёбиуса в природе?
1 ответ:
Читайте также
Пусть будет по Вашему.
"Путешествие" в мир математики и маленьких человечков. И живут они в маленькой солнечной системе, на малипусенькой планете, где в году 22 дня.
Для начала создадим математический макет этой системы с траекторией движения точки находящейся на экваторе. Поскольку в математике нет названия для кривой созданной двумя независимыми вращениями точки, то назовем ее волнистой линией (ВЛ).
Как и у нас, их планета вращается вокруг оси в ту же сторону что и вокруг звезды.
На первый взгляд очевидно, что длина ВЛ будет значительно больше длины орбиты.
Но ведь параметры системы могут быть и другими.
И в этом случаи длина ВЛ не многим будет отличаться от длины орбиты планеты
А вот в следующем варианте, ВЛ находящаяся внутри орбиты, сокращает путь. Наружная составляющая всегда его удлиняет.
Однозначно сказать чем дело закончится, невозможно.
Попробуем рассчитать длины траекторий.
С длиной орбиты все просто.
Длину ВЛ рассчитаем через интеграл.
По последним параметрам длина ВЛ все равно получилась немного больше длины орбиты.
Но вот незадача, у маленьких человечков, как и у нас, планета за год делает на четверть оборота больше от целого числа. И хотя за астрономический год планета занимает свое исходное положение, человечек успевает переместиться еще немного вперед. Это увеличивает длину ВЛ.
Да, но что такое год? Это астрономически полный оборот планеты вокруг звезды. И его можно начинать отсчитывать от любой временной точки.
Предположим, в один миг, на экваторе планеты родились четыре человечка. И от этого времени начнем отсчет. Один из них родился в полночь (Рn), другой на восходе (V), следующий в полдень (Pd) и четвертый на заходе (Z) звезды.
Очевидно, что за четыре года они все вернуться в исходное положение, и следовательно проделают одинаковый путь. Но будет ли он одинаков за один год?
Рассмотрим картинку. Каждый человечек прожил один астрономический год, но у рожденных Рn и Z пройденный путь будет увеличен. У V и Pd уменьшен. Но в любом случае он больше чем у жителя полюса.
Произведем расчет для одного года.
Он подтверждает картинку.
При двух и трех годах раскладка увеличивающих и уменьшающих "кусочков" будет другая. Так при двух годах появится рекордсмен "закатник", он пройдет путь больше остальных своих сопланетников, а также аутсайдер "восходник".
При трех годах они разделятся опять на два лагеря.
И остается сделать проверку формул и убедиться. что за четыре года они преодолеют одинаковое расстояние.
Все верно.
Ну что же, в гостях хорошо, а дома лучше. Пора возвращаться в родную солнечную систему.
Наша планета настолько мала по сравнению с размером ее траектории вокруг Солнца, что не представляется возможным сделать красивые картинки в масштабе. Но поскольку мы уже разобрались с планетарной механикой на примере других систем, то вполне сможем ограничиться только числами.
Введем параметры нашей солнечной системы в миллионах километров.
Человек на полюсе переместится на 65.7 миллиардов километров.
Интегралы при таких значениях сбоят, поэтому рассчитаем экваториальные перемещения через сумму. Шаг интегрирования одна сто миллионная часть окружности. Наверное нам такой точности хватит, учитывая что все линейные параметры солнечной системы весьма не точны.
За четыре года четверо, разно расположенных людей, пройдут равное расстояние. За 70 лет таких циклов будет 17. Ими мы перекроем 68 лет и плюс еще два года, которые будут разными для различных людей.
За 68 лет все пройдут 63.917 миллиарда километров.
Рассмотрим рожденного в полночь. Его "пробег" превысит полюсника на 3.98 миллиона километров
Рожденный на восходе превысит расстояние на 3.967 миллионов километров.
Полуденник то же на 3.98 миллиона км.
И конечно рекордсменом будет закатник со своими 3.993 миллионами км.
То что жители экватора, по сравнению с полюсниками, пройдут больший путь было почти очевидно. Но вот то что между рожденными на экваторе при закате и восходе разница за 70 лет будет в 25 тысяч километров, несколько неожиданно. В принципе так и должно быть, поскольку это четыре радиуса Земли.
При желании можно поиграться макетом, построить разные кривульки.
