НАРЯДУ с мальчиками в соревновании по ориентированию принимали участие и девочки.
В этом предложении слово НАРЯДУ (с кем или с чем) отвечает на вопрос КАК? Следовательно, это наречие.
Наречия могут писаться по-разному: и слитно, и раздельно, и через дефис.
На этот счет в русском языке существуют вполне определенные правила.
В данном конкретном случае наречие НАРЯДУ пишется слитно. И только слитно!
По какому такому правилу?
А вот в соответствии с правилом русского языка, которое гласит, что наречия пишутся слитно, если между предлогом (в этом случае она переходит в приставку) и именем существительным, из которого образовалось наречие, не может быть вставлено без изменения смысла какое-нибудь определение (прилагательное, местоимение, числительное). Да и падежный вопрос невозможно поставить. Вот поэтому и пишутся такие наречия слитно. Например, бегут вприпрыжку, говорить наперебой, отказаться наотрез и т.п.