Слово «уважить» имеет два значения.
Первое — это «признать убедительным, имеющим значение», «принять во внимание».
Второе — «оказать уважение», «удовлетворить», «исполнить желание».
В этом слове упорно «слышится» слово «важность», «важно». Так что вполне можно посчитать, что «уважить» происходит от «важности» и закрыть вопрос.
Однако — вот чудеса! — словари утверждают, что корни этих слов — разные: у «важности» корень «важн -», а у «уважить - «уваж-». Странно, правда: если одно слово происходит от другого, то почему они не однокоренные?
Если обратиться к истории обоих слов, то можно узнать, что они, оказывается, в русском языке — пришлые.
Слово «уважить» пришло к нам из соседнего польского в XVII веке. Было здесь слово uważać, означающее «быть внимательным», «проявлять внимание». Происходило оно от слова «увага», весьма распространенного когда-то в языках славянского корня (а в украинском, например, и сейчас существующего), со значением «внимание».
Слово «важность» — тоже пришелец. Тоже из польского и примерно в то же время или чуть позже. Там оно существовало в форме ważny и означало „имеющий влияние”, „веский”.
<hr />
Вот тут можно заметить сходство польских слов: и в одном, и в другом – явно одинаковая основа - waż-.
Нет, она не свидетельствует о том, что в польском (или еще раньше – в древнеславянском) языке uważać, произошло от ważny или наоборот. Всё проще: это след еще более древнего родства. Предком обоих было слово „вага”, имеющее даже не общеславянские, а индоевропейские корни. Означало оно „вес”, „тяжесть”.
Из слова „вага” с использованием разных смыслов и развились совершенно самостоятельные слова. Путь их мог быть таким:
вес – веский в смысле „имеющий значение, ценность” – важный – важность
вес – то, что имеет вес в смысле „значение, ценность" - „то, что нужно принять во внимание, так как оно имеет значение (ценно)” – увага (внимание) – уважить (принять во внимание)
<hr />
Получается, что „уважить” и „важность” не происходят одно от другого напрямую (ни в русском языке, не в первоисточнике – польском). Но они все же – этимологические родственники: у них общий предок – древнее славянское слово "вага" со значением „вес”, „тяжесть”, „ценность”