Чтобы определить, что за часть речи "замуж" обратимся к правилам:
<hr />
Глагол - обозначает действие предмета и отвечает на вопросы что делать? что сделать?
Соответственно, "замуж" не может быть глаголом.
<hr />
Имя существительное - отвечает на вопрос кто? что? Обозначает предмет. Изменяется по падежам. Бывает множественного или единственного числа, мужского, женского или среднего рода.
Однозначно, что "замуж" не имя существительное.
<hr />
Имя прилагательное - отвечает на вопрос какой? какая? и обозначает признак предмета. Имеет число и род.
"Замуж" - не может быть именем прилагательным.
<hr />
Наречие - отвечает на вопросы куда? как? где? и т.д. Это неизменяемая часть речи, обозначает признак действия, качества или предмета, не образует словосочетаний с местоимениями и числительными, зато может сочетаться с другими частями речи. Пример: выйду замуж, замуж за мужчину.
Исходя из вышесказанного, можно не сомневаться, что "замуж" является наречием. И вот одно любопытное стихотворение, которое поможет запомнить как правильно пишется "замуж":