Неугомонный мальчишка не давал покоя взрослым своими бесконечными "почему" и "как"?
Как видим, слово "неугомонный" пишется с буквой "о" в корне:
не-угомон-н-ый - приставка/корень/суф<wbr />фикс/окончание.
Проверочное слово для безударной гласной в корне поищу среди родственных слов с целью, чтобы ударение её прояснило:
угомон, угомонить (ся), неугомонность.
Ударение так и не переместилось на гласный, нуждающийся в проверке, поэтому запомним написание буквы "о" в корне прилагательного "неугомонный". Это словарное слово.
Хотя, возможно, это слово имело когда-то приставку у-, которая срослась с корнем, и тогда проверочное слово - этимологически родственное слово "гОмон", то есть "шум".
А неугомонный" -это такой, кто создает этот шум и беспокойство для окружающих.