Question

Задача: к какому зайцу волку нужно бежать прежде всего?

Вот детская задача: на прямой линии находятся два зайца и между ними — волк. К одному зайцу он ближе, чем к другому. Животные могут бегать только вдоль этой линии с постоянными скоростями. Скорости зайцев одинаковы и меньше, чем у волка. Зайцы убегают в разные стороны от волка, а волк хочет поймать их, пробежав за всё время охоты как можно меньшее расстояние. Какого зайца и почему волку следует поймать в первую очередь — ближайшего к нему или дальнего?

Answer 1

Дальнего зайца он будет догонять дольше, плюс за это время и ближний убежит на большее расстояние, отсюда однозначный вывод - бежать к ближнему (дальний за это время убежит недалеко), а после того, как ближний будет пойман - отправляться в обратку, за еще недавно дальним, а теперь уже единственным. Хорошая задачка, спасибо :)

Answer 2

К ближнему.

Когда волк поймает первого зайца, второй убежит на какое-то расстояние. И тем на большее, чем дольше волку было бежать за первым зайцем. Это не штука доказать аналитически, благо доказательство не выходит за рамки физики шестого класса, но графически ещё нагляднее.

Тут, в общем, всё и так понятно, без объяснений. Оба зайца с одинаковой скоростью убегают от волка, так что накло обеих прямых одинаковый, только знак разный. Волк из некоторой начальной точки начинает гнаться за каким-то зайцем. Его скорость больше, поэтому наклон круче. Догнав зайца, он поворачивает обратно, при этом график его траектории пойдёт под тем же наклоном, но в другую сторону до пересечения с графиком второго зайца:

Ну и видно, что если он сначала погонится за ближним (красная линия), суммарное время охоты у него получается меньше, чем если сначала погонится за дальним (фиолетовая линия).

Тут время трапезы принято равным нулю, но если оно ненулевое, то принципиально ничего не меняется.

Answer 3

У этой задачи есть несколько решений, и все одни дают, конечно, один и тот же ответ: бежать волку нужно сначала к тому зайцу, который ближе. Можно решать алгебраически, но это долго и не нужно. Грустный Роджер уже дал красивое, строгое и весьма наглядное решение задачи с помощью графиков. Можно дать еще два чисто логических решения. Первое решение такое. Предположим обратное — что сначала волку нужно бежать за более дальним зайцем. Тогда через какое-то время волк окажется на равном расстоянии от обоих зайцев. С этого момента волк может выбрать любого зайца и бежать за ним. Пусть волк решит бежать за тем зайцем, который сначала был к нему ближе. Для этого он должен побежать назад - и вскоре он окажется там же, где был в самом начале. То есть он зря бегал туда и обратно и пробежал лишнее расстояние. Значит, нужно было бежать за ближним зайцем. Это несколько длинное рассуждение. Но его можно сильно упростить. Понятно, что решение не зависит от абсолютной скорости зайцев - нужно только, чтобы они бежали медленнее волка. Вот и предположим, что скорость зайцев равна нулю (то есть зайцы просто сидят и ждут, пока волк до них добежит). В этом случае волк должен добежать до одного из зайцев, а потом бежать к месту, где находится второй заяц. Очевидно, что выгоднее дважды пробежать меньшее расстояние, а большее — только один раз, чем дважды пробежать большее расстояние, а меньшее - только один раз.

Answer 4

Дальнего к нему. Поскольку, когда он поймает его, то до ближнего расстояние будет меньше, если он погонется сначала за ближнем, а потом ему нужно будет поймать дальнего, расстояние до которого у него увеличится.

Answer 5

Каким бы путём не побежал волк, он никогда не достигнет зайца, так как расстояние между ними будет сокращаться бесконечно.

Answer 6

Естественно, что зайцы бегут в разные стороны. Пусть исходное расстояние между зайцами S м, скорость зайцев х м/с, волка у м/с, и на поимку первого зайца потребовалось t секунд. К этому времени расстояние от волка до второго зайца станет равным (S + 2*x*t) м, независимо от того, какого зайца волк поймал первым. Значит, нужно чтобы t (время от старта до поимки первого зайца) было меньшим. Оно будет меньше, если волк сначала погонится за ближним зайцем.