Это разные понятия, они произносятся по-разному и пишутся тоже по-разному.
Бéздна - существительного первого склонения, обозначающее пропасть либо огромное количество чего-либо. Ударение в нём падает на первый слог, что и диктует произношение всех гласных звуков, см. транскрипцию выше.
Без дна - сочетание предлога с существительным среднего рода дно в родительном падеже. Служебная часть речи при самостоятельной обычно сливается в одно фонетическое целое, в котором под ударением стоит самост. ч. р. Как это влияет на произношение, отражено в транскрипции выше. Для носителя языка разница в ударении и произношении гласных является существенной и носит смыслоразличительный характер. Для тех, кто хоть и знает русский язык хорошо и давно, но не считает его родным, эта разница может казаться несущественной. Они ошибаются, им следует усмирить гордыню и пересмотреть мнение о том, насколько совершенно они владеют русским языком. То же справедливо и для русскоязычных, считающих, что они всё уже знают о родном языке и им нечему учиться.
Как определить, что перед нами в написанном?
Существительное бездна может стоять в любом падеже и выступать различными членами предложения: подлежащим, дополнением (прямым и непрямым) и даже сказуемым.
В сочетании слов без дна существительное уже в косвенном падеже, поэтому его функции ограничены непрямым дополнением или несогласованным определением.
Для лучшего запоминания разницы можно посоветовать цитату из известнейшего произведения М. В. Ломоносова:
Бездна - это пространство без дна.
