Основное тригонометрическое тождество гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1, т.е.
(sin(a))^2+(cos(a))^2=1 (1)
Докажем утверждение (1).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.
Возьмём, к примеру, угол CAB = a.
По определению синус угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус угла в прямоугольном треугольнике есть отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Пользуясь определениями синуса и косинуса, имеем:
sin(a)=BC/AB
cos(a)=AC/AB
Перепишем (1), используя определение синуса и косинуса:
(BC/AB)^2+(AC/AB)^2=1
Домножим обе части на AB^2. Имеем:
BC^2+AC^2=AB^2 (2)
Выражение (2), очевидно истинно, так как эта теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов есть квадрат гипотенузы. Так как (2) истинно, а (1) и (2) эквивалентны (т.к. (2) получено путём тождественных преобразований из (1)), то верно и (1), что и требовалось доказать.
Ввиду произвольности выбора прямоугольного треугольника ABC, заключаем, что (1) верно для любых углов.
Итак, (sin(a))^2+(cos(a))^2=1.