Оба слова связаны между собой только этммологически.
Они происходят от одной основы ИНЪ, что означало в старославянском языке ОДИН.
От ИНЪ посредством суффикса -ОКЪ образовалось слово ИНОКЪ, в современном русском языке ИНОК (монах).
От этой же основы ИНЪ при помощи суффикса -АКЪ в старославянском языке было образовано слово ИНАКЪ, имеющее значение "другой", от него -- форма среднего рода единственного числа ИНАКО, а от последнего при помощи суффикса Й, который в сочетании с К изменился в Ч, образовалось и знакомое нам слово ИНАЧЕ (по-другому).
Как следует из сказанного, лексические значения этих двух слов, различаются.
Да и корни у этих слов в современном русском языке различны.
Вернее сказать, что наречие ИНАЧЕ как неизменяемая часть речи состоит из одной морфемы -- корня.
Имя существительное ИНОК состоит из двух морфем -- корня ИНОК и нулевого окончания (достаточно изменить по падежам: инок/а, инок/у, инок/ом).
Кроме того, родственные слова инокиня, иноческий, иночество, образованные при помощи разных суффиксов, показывают отсутствие суффикса в исходном слове ИНОК.
Вот по этим причинам слова ИНОК и ИНАЧЕ не являются однокоренными (родственными).