Однокоренными слова считаются не только за «одинаковые корни» (это может быть и обычным совпадением). Они еще должны иметь близкое значение и происхождение.
Начнём с «половины».
Этим словом называют одну из двух равных частей чего бы то ни было или середину (расстояния, промежутка времени и тому подобное). Есть у него и ещё одно значение — супруг (супруга), т. е. муж или жена по отношению друг к другу (или один из партнеров в паре, связанной любовными (брачными) отношениями).
Слово это древнее: русский язык унаследовал его от славянского (на что, ко всему прочему, указывает и наличие чего-то подобного в других языках славянского корня).
Однако в других славянских языках сходные значения передает несколько «укороченный» вариант — pól (именно так он, например, выглядит в польском и словацком). То есть русская «половина» — это вариант «переработанный» и «дополненный».
Так оно, собственно, и есть. Исходным для него является древнеславянское «полЪ» со значением «сторона, часть», к которому добавлено два суффикса: -ов, указывающий на принадлежность называемого к тому, что выражено в основе, и -ин (а), обозначающему, в принципе, всё ту же «принадлежность».
В целом, получается, что исходно «половина» — это «часть, имеющая отношение (принадлежащая) к другой части (стороне) одного явления (предмета, временного промежутка и так далее)». В значении «муж (жена) по отношению друг к другу» или (более обширно) «мужчина (женщина), принадлежащие друг другу» это слово используется уже очень и очень давно.
<hr />
Теперь «пол».
Это слово — многозначное. Точнее, это два совершенно разных слова, которые звучат (и пишутся) одинаково (омонимы).
Одно обозначает нижнее покрытие, настил — то, по чему ходят. Происходит оно от славянского со значением «основание» (то, что внизу) и, видимо, восходит к индоевропейскому слову с тем же значением. Кстати, далеко не всегда оно обозначало именно «то, на чем стоят (по чему ходят)»: в славянском языке когда-то почти так же называлась, например, и широкая спальная лавка.
Второй «пол» — это чисто биологическое понятие, обозначающее весь набор признаков, связанных с размножением и определяющих различие самцов и самок. Применительно к человеку, соответственно, мужчин и женщин. Исходник это слова в русском — уже знакомое нам славянское «полЪ» со значением «сторона (часть)».
Легко понять, что первый «пол» к «половине» отношения не имеет, а вот второй — да, причём самое прямое. Выходит, они всё же однокоренные?
Нет, несмотря на свое явное этимологическое родство «пол» (в биологическом его значении) и «половина» в современном русском языке однокоренными не являются.
Корнем «пола», как легко понять, будет сам -пол-. А вот в «половине» изначальные суффиксы за давностью лет накрепко сцепились с первоначальным корнем и теперь уже не выделяются. Так что корень этого слова -половин- и никак не иначе.