Начнём с того, что сотрудник не просто наблюдал, но тоже участвовал в рукопожатиях, иначе было бы не вежливо. Заменим задачу равнозначной: имеется некоторое количество точек на плоскости, не лежащих на одной прямой. Известно, что количество отрезков, всевозможно соединяющих данные точки равно 78. Требуется узнать количество точек.
Так как точки не лежат на одной прямой, то они образуют многоугольник, и количество точек будет численно равно количеству вершин многоугольника.
Пусть n - количество вершин многоугольника. N - количество диагоналей многоугольника.
В многоугольнике количество вершин равно количеству сторон, следовательно мы можем считать n численным значением сторон многоугольника.
Применим формулу, по которой можно узнать количество диагоналей в многоугольнике:
N=n*(n-3)/2 (1)
По условию сумма диагоналей и сторон равна 78. Имеем:
N+n=78
Отсюда используя формулу (1) получаем квадратное уравнение:
n+n*(n-3)/2=78
Производим упрощение:
2n+n^2-3n=78
n^2-n-156=0
Решаем данное уравнение с использованием дискриминанта:
D=1+4*156
D=625
sqrt(D)=25
Получаем два значения n, но нас интересует только положительное:
n=(1+25)/2=13.
Итак, количество вершин многоугольника равно 13. Это и будет являться ответом первоначальной задачи.
Ответ: на заседании было 13 участников.
В данной статье использовались следующие обозначения:
sqrt - квадратный корень
^ - степень числа.