Как найти углы треугольников без применения формул тригонометрии?
Надо найти углы ABO и OBC, не используя тригонометрические функции.
Составлены четыре уравнения для c, d, x и y. Оказалось, что они не являются взаимонезависимыми, поэтому решить эту систему уравнений невозможно.
Замените одно из написанных здесь уравнений (укажите, какое) уравнением, которое в сочетании с тремя оставшимися представляло бы систему независимых уравнений и позволило бы найти углы х и у.
Или опубликуйте другой путь решения.
20 ответов:
А ларчик просто открывался. Чтобы решить эту задачу не надо было заморачиваться с уравнениями. Достаточно было только достроить треугольник до прямоугольника и высчитать всё с использованием прямых углов. Ведь всем известно что они равны 90 градусам. В результате получилось что угол АВО=46 градусам, а ОВС=11 градусам.
До расчетов это выглядит так.
В начале нашла угол ВАМ=90-11-33=46.
Затем вычислила МВА=180-90-46=44
И на последок нашла АВО=90-44=46
Всё тоже самое проделала и с другой стороной.
ВСN=90-8-71=11
CBN=180-11-90=79
OBC=90-79=11
А тут можно взглянуть на рисунок с уже отмеченными углами.
Предоставляю полное решение задачи в 4 детских шага, обращу внимание, задача решена с использование построение правильной геометрической формы, однако это условие вовсе не обязательно соблюдать, ход решения никак не изменится.
P.S. Несмотря на такое простое решение, многим оно может показаться шарлатанским или еще каким, скажу, что метод с применением аналитической геометрии Михаила Белодедова мне более симпатичен, однако без хорошей логической последовательности хода решения и отсутствии калькулятора (ЭВМ) на практике не применим, ввиду сложности расчета, где, считаю, мой метод также не менее универсальным в данном типе задач и по совместительству более простым.
Сколько решений имеет задача?
Для того чтобы однозначно задать треугольник на плоскости, должен быть известен один из трёх наборов данных:
- три стороны треугольника,
- две стороны и угол между ними,
- сторона и два прилежащих к ней угла.
В условии задачи известны только углы. Этих данных не достаточно для точного решения. Удастся получить только решение зависящее от переменного параметра.
Решение:
1 вариант. С помощью геометрических построений.
Сделаем дополнительное построение:
Проведём прямую DE через точку O параллельно прямой AC.
Проведём прямую FG через точку B параллельно прямой AC.
После построений получим:
Найдём угол x:
Угол EOC = углу OCA = 8° ( накрест лежащие ).
Угол FBD = углу DAC = 44° ( накрест лежащие ).
Угол BOE = углу FBO = x + 44° ( накрест лежащие).
Угол c = угол BOE + угол EOC = x + 44° + 8° = x + 52°
x = c - 52°.
Найдём угол y:
Угол DOA = углу OAC = 11° ( накрест лежащие ).
Угол GBE = углу ECA = 79° ( накрест лежащие ).
Угол BOD = углу GBO = y + 79° ( накрест лежащие ).
d = угол BOD + угол DOA = y + 79° + 11° = y + 90°
y = d - 90°
d = 360° - 161° - c = 199° - c
y = 199° - c - 90° = 109° - c
Область определения переменной c :
Из существования треугольников ∆ BOC и ∆ BOA следует:
x > 0
Подставим полученное значение x.
c - 52° > 0
c > 52°.
y > 0
Подставим полученное значение y.
109° - c > 0
c < 109°
52° < c < 109°
Ответ: x = c - 52°, y = 109° - c, 52° < c < 109°.
2 вариант. С помощью свойств углов и треугольника на плоскости.
Угол AOC = 180° - 11° - 8° = 161° ( из суммы углов в треугольнике )
d = 360° - 161° - c = 199° - c
x = 180° - 33° - d ( из суммы углов в треугольнике )
Подставим значение d.
x = 147° - 199° + c = c - 52°
y = 180° - 71° - c = 109° - c ( из суммы углов в треугольнике ).
Из существования треугольников ∆ BOC и ∆ BOA следует:
x > 0
Подставим полученное значение x.
c - 52° > 0
c > 52°.
y > 0
Подставим полученное значение y.
109° - c > 0
c < 109°
52° < c < 109°
Ответ: x = c - 52°, y = 109° - c, 52° < c < 109°.
03.02.2020. Раскрываю секрет фокуса Михаила Белодедова.
Его шесть рисунков - это просто места для размещения числовых значений углов.
Здесь вы видите рисунки, которые могли бы сделать авторы решений задачи, исходя из полученных ими ответов.
Рисунок, соответствующий ответу Михаила Белодедова, смотрите в ответах ViktorNeVrach.
Ответы anomalia, bezdelinik 1 и jack21 можно признать правильными, если рассматривать совпадение вершин углов х и у, показанное на рисунке в условии задачи, как частный случай их взаимного расположения. Тогда можно утверждать, что задача имеет много ответов.
Если бы я был учителем (молодым и необременённым разного рода дополнительными обязанностями), я бы ещё покопался в решениях anomalia и jack21 чтобы понять, почему у них получились именно такие ответы.
На этом я заканчиваю своё участие в дискуссии. Программа сообщает, что лучший вопрос можно выбрать до 15 февраля. Буду до последнего дня ждать ответа, полученного без применения тригонометрии, аналитической геометрии и последовательных приближений.
Треугольники заданы углами, следовательно, подобные им можно строить по двум углам. Таковые имеются при основании треугольников АВС и АОС. В связи с чем, вариант построения единственно возможный.
На рис. 1 изображен треугольник соответственно условию и повернут для лучшего восприятия. Продлим отрезок АО до пересечения с СВ в точке D. Тогда угол АDС = 180⁰- (71⁰ + 8⁰ + 11⁰) = 90⁰, а (х⁰ + у⁰) = 90 - 33⁰ = 57⁰.
Как видим, высота АD делит треугольник АВС на левую и правую части, при этом углы в этих частях ни как не связаны между собой. Например, к левой части можно «пристроить» любой произвольный треугольник (рис. 2), имеющий другие углы. Здесь нет взаимосвязи углов. Но вот тригонометрическая согласованность углов есть, так как прямоугольные треугольники имеют общие стороны и пропорциональные отношения отрезков, то есть тангенсов улов. Тогда
В данном случае имеет место равного отношения тангенсов двух пар целочисленных углов.
Картинок а-ля bezdelnik 1 я могу нарисовать немерено:
Ответ нужно расценивать как комментарий. В комментарии невозможно вставить рисунки, увы...
Сейчас я удивлю всех математиков, но задачу можно решить без тригонометрии и арифметики и еще чего-либо, все что вам понадобится - это точное построение треугольника, может ли такое сделать школьник? Может, но скорее всего результат не зачтут, так как слишком хитрый вариант решения я предлагаю. Однако студент, который так решит задачу - будет считаться чуть ли не профессором.
P.S. Иных методов решения без тригонометрии найти не удалось.
Итак более короткое и быстрое решение.
Введем сетку. Добавим необходимые построения, введя обозначения длин и измерив их соотношения, получим важное дополнение, которое позволяет легко решить задачу.
Тоже самое решение, но полностью с доказательством, без применение тригонометрических формул, но с применением аналитической геометрии, как правило доступной только для школьников элитных школ в 10 и 11 классе.
P.S. Численное доказательство приведено относительно введенной прямоугольной системы координат.
Читайте также