Хотя в обоих случаях речь идёт о бочках, различия между этими двумя выражениями имеются и весьма существенные.
Чтобы их определить, необходимо вспомнить историю возникновения обоих фразеологизмов.
<hr />
Начнём, пожалуй, с Диогена.
В Древней Греции было много различных философских школ. Представители одной из них назывались киниками (нам это слово привычнее в иной «озвучке»»— циники). Основой этого мировоззрения была «естественная жизнь», т. е. жизнь, лишенная всяческих условностей (включая законы и нормы морали) и искусственности (в это понятие входили как вещи, так и религия, культура, государство). Такое отречение от «ненужного» по мнению киников позволяло человеку жить в подлинной свободе и независимости и, следовательно, быть счастливым.
Самым известным киником был Диоген Синопский, о котором ходило множество историй, в основном, весьма эпатажных и неприличных. Но наиболее известен он стал тем, что якобы однажды на вопрос Александра Македонского («Скажи, чего ты хочешь, и я исполню»), ответил: «Не загораживай мне солнце».
Акетизм Диогена зашёл так далеко, что он отказался жить в доме, считая его ненужной и лишней роскошью. Из вещей у него была сума и посох, кровать ему заменял плащ, а жилище — глиняный кувшин (пифос). Отсюда, собственно, и пошло представление о том, что жил он в бочке.
Выражение «бочка Диогена» стало обозначать крайне скромное, непритязательное, полностью лишенное излишеств и украшательств жилище, а в более широком смысле — сам отказ от роскоши и удовольствий, жизненную простоту.
<hr />
Источником второго выражения является один из древнегреческих мифов. Рассказывалось в нём о ливийском царе Данае, который однажды получил оракул (пророчество), что погибнуть ему суждено от руки зятя. Проблема заключалась в том, что дочерей у царя было пятьдесят, т. е. появление зятя являлось лишь вопросом времени и было практически неизбежно. Радовало только то, что девушки замуж не спешили да и после бегства из Ливии найти им всем женихов казалось проблематичным.
Однако от судьбы не бежишь, и беглого Даная настигли-таки сыновья его брата Египта (по забавной случайности их тоже было пятьдесят) и заставили выдать дочерей замуж. Впрочем, любящий папа убедил дочерей (которые и сами замуж не хотели) убить спящих мужей прямо в брачную ночь. Сорок девять пожелания отца выполнили, а одна — Гипермнестра — мужа Линкея пощадила. Собственно, Линкей позже расправился и с Данаем (сбылось-таки пророчество!), и с его коварными дочками.
Ну, а после смерти девы-мужеубийцы получили от богов наказание: наполнить водой огромную бочку. Поскольку бочка бездонна (то ли в смысле мистическом, то ли в самом вещественном — дно отсутствует), сделать это абсолютно нереально.
Так родилось выражение «бочка Данаид», обозначающее монотонную и бессмысленную работу.
<hr />
Как видите две древнегреческие бочки весьма и весьма серьезно различаются: «бочка Диогена» символизирует аскетизм, отказ от роскоши и излишеств, а «бочка Данаид» — бессмысленную, бесполезную и ненужную работу. В каком-то смысле, первое - это образ жизни, а второе - наказание.
