Слово рука отвечает на вопрос "что?". Следовательно, является неодушевлённым существительным.
Подберём к нему прилагательные:
изящная рука,
тёплая рука,
сильная рука.
Они показывают, что существительное "рука" - женского рода первого склонения.
Изменим по падежам слово "рука" в форме единственного числа:
Именительный падеж (что?) рукА
Родительный падеж (чего?) рукИ
Дательный падеж (чему?) рукЕ
Винительный падеж (что?) рУку
Творительный падеж (чем?) рукОй
Предложный падеж (о чём?) о рукЕ.
Изменим по падежам слово "рука" в форме множественного числа:
Именительный падеж (что?) рУки
Родительный падеж (чего?) рУк_
Дательный падеж (чему?) рукАм
Винительный падеж (что?) рУки
Творительный падеж (чем?) рукАми
Предложный падеж (о чём?) о рукАх.