Стоит отметить, что слово "завершение" может быть либо частью производного предлога, либо выступать в роли самостоятельного существительного.
Поэтому сначала нужно определиться, с чем мы имеем дело, а затем вспомнить соответствующее правило..
<hr />
По завершению / По завершении
1) Если в предложении имеется предлог "по" во временном значении = в значении "после", то его правильно использовать с существительными в форме предложного падежа.
В нашем случае:
(чему?) завершению - дательный падеж.
(о чём?) о завершении - предложный падеж.
Таким образом, в этом случае будем использовать вариант "по завершении".
Например:
По завершении работ вам нужно будет составить акт.
Аналогичным образом пишутся и другие схожие словосочетания:
По истечении.
По окончании.
и др.
2) Другое дело, если "завершение" используется не во временном значении, а в значении "заключение" или "конец".
Здесь нужно использовать форму дательного падежа, то есть "по завершению".
Например:
По (чему?) завершению его сочинения учитель окончательно определился с оценкой.
Здесь "по завершению" можно заменить на "исходя из завершения", "исходя из концовки", "по концовке".
<hr />
В завершение / В завершении
1) Существует производный предлог "в завершение" со значением "под конец", "в конце", "на финише", он используется с существительными в форме родительного падежа.
Например:
В завершение спектакля зрители стоя аплодировали артистам.
2) Когда "в завершении" - это обычное существительное с предлогом, то можно использовать оба варианта. При этом между предлогом "в" и существительным "завершение" можно легко подставить дополнительное слово.
Например:
В (благополучное) завершение строительных работ никто из жителей уже не верил.
Не верил во что? В завершение. - Винительный падеж.
Я очень заинтересован в (скорейшем) завершении этой работы.
Заинтересован в чём? В завершении. - Предложный падеж.