Правило русской орфографии гласит, что в написании приставок, заканчивающихся на буквы с/з, следует учитывать то, с какого согласного начинается корень слова. Если корень начинается со звонкого согласного, то пишем без-, раз-, вз-/воз-, низ-, чрез-, из-, роз-. Соответственно перед глухими согласными корня слова перечисленные приставки пишутся с буквой с.
Исходя из этого, в слове беспроблемно напишем приставку бес-, так как корень слова начинается с глухого согласного "п". Сравним:
беспроблемно - безрадостно;
ниспадать - низвергнуть;
вспылить - вздохнуть;
распилить - развалиться;
роспись - розвальни;
чересполосица - чрезмерный;
исходить - издать.
Это правило не касается приставки с, которая пишется в любом случае, независимо от того, с какого согласного начинается корень слова, например:
сделать, сбросить, сгноить, свалять, сжать, спилить, сработаться.
Приставки з просто не существует в русском языке, а в словах здание, здоровье, здравствуй, здесь, здешний, здравица и пр. начальное "з" является корневым.
Запомним также написание слов сбруя, сдоба.