В первом предложении использован производный предлог "благодаря", требующий дательного падежа.
Построено-то предложение правильно, но выделять словосочетание "благодаря (кому?) своим врачам" совсем не требуется, обособление не стоит делать, поскольку это всего лишь второстепенный член предложения -- дополнение.
Во втором предложении соблюдены все грамматические нормы -- обособлен деепричастный оборот "благодаря (кого?) своих врачей", отделено придаточное предложение от главного. НО... какой-то странный смысл: он почувствовал, что "выздоравливает" только тогда, когда стал благодарить врачей?
Все-таки, по-моему, смысл в этом предложении несколько другой, а именно:
Благодаря своих врачей, я почувствовал, что результатами лечения врачи довольны.
В предложении под номером 3) в любом случае есть грамматическая ошибка:
- если употребляется производный предлог **благодаря", то неправильна падежная форма словосочетания; при правильной форме предложение идентично предложению 1);
- если имеется в виду деепричастие "благодаря", то оно вместе с зависимыми словами должно обособляться, а тогда предложение 3) будет идентично предложению 2).