С помощью фразеологизма "умывать руки" говорящий отрицает собственную причастность к делу, событию, прекращает попытки добиться успеха, отказывается от своих замыслов.
Своим рождением выражение обязано Библии, принадлежит римскому префекту Понтию Пилату. Он пытался помочь Иисусу Христу избежать казни, хотел спасти от разъяренной толпы. Пилат убеждал людей в невиновности Христа, но люди, ослепленные ненавистью, не хотели слушать. Поняв бесполезность своих стараний, Пилат умыл принародно руки и объявил, что не виновен в гибели Иисуса, так как сделал во имя его спасения все, что мог.
В современном русском языке фразеологизм "умывать руки" соответствует речевой ситуации, когда в споре у оппонента исчерпаны аргументы или когда невозможно решить проблему несмотря на множество попыток. "Умываю руки" - это, другими словами, "я сделал все, что было в моих силах, и теперь снимаю с себя ответственность за происходящее".