Арифметика.
Есть огромное количество шансов, что это существительное пришло к нам из Греции. Причём, из древней. Словом "аритмос" древние греки обозначали число (транскрипцию я упростила, естественно). Словами "аритмэтикэ тэкнэ" - науку о числах. Буква "тэта", участвовавшая в греческом слове, частенько транскрибируется на русский в виде "ф". Так и получилась "арифметика". Это полноценная калька.
Археология.
Начнём с концовки, чтобы определить это слово к какому-нибудь из древних языков. "-логия" (от греческого "-logos") почти всегда указывает на греческие корни и на то, что слово скорее всего означает какую-то науку или раздел науки. А начало "Архэйос" (снова упрощу произношение) на том же древнегреческом означает "старинный". Итого получаем - наука о старине, о старом, о древности.
Астрономия.
И здесь Греция вмешалась. Настоящий лингвистический партнёр России! По складывающейся традиции, начнём с конца. "Номия" означает "закон" (от "nomos"). А "Астро" - это от греческого "astron" и от латинского "astra". В обоих языках это слово с одинаковым корнем означает "звезда". Но поскольку древнегреческий язык считается более древним, чем латинский, то и происхождение слова "астрономия" давайте отберём у терпеливых латинян и законно (по "номосу") передадим в мужественные руки наших партнёров греков.
Арбуз.
А здесь вообще чудеса полосатые. Слово это тюркского производства. Восточное. То есть, немного выбивается из нашего ряда, но чудо не в этом. Арбузный и лингвистический путь в наш язык был крайне тернист. Как говорили в Древнем Риме, "Пэр Аспера ад Астра" (от терний - да сразу в звёзды языковые).
В тюркских языках есть слово "харбуза" (иная транскрипция - "карпуз"). Как вот, это слово-карапуз в иранском, в частности, языке, означало "дыня". А дальше посмейтесь. Дыня, как известно, часто имеет вид перезревшего огурца. Знаете, сорт "Торпеда" - ну в точности же семенной огурец! Но арбуз-то - не дыня. Между тем, форма не дынная, а тоже бахча и тоже зелёный.
"Харбуза" ("харбюза") буквально переводится, как "ослиный огурец" или "огурец-осёл". То есть, огурец, который только ослу подойдёт, поскольку размерами почти с осла (маленького). :)