Сын построил для родителей новый дом, и стали жить-поживать они там прип*ваючи.
Родители стали жить КАК?
Понятно, что стали жить родители очень хорошо, спокойно, а как же иначе может быть, если дом хороший, теплый?
КАК? На такой вопрос отвечает рассматриваемое слово. Это наречие. Да, есть наречия, в которые превратились глаголы в форме деепричастий, потерявших значение вида и времени.
Наречие, а точнее, исходное деепричастие образовалось от глагола "припевать" (негромко петь), который, в свою очередь, связан по смыслу с глаголом "петь" (не "пить"!).
Да вот словообразовательная цепочка: петь => припевАть => припевАючи
Суффикс "-ва-" ударный в образованных от исходного глагола словах.
А в таком случае перед ним (суффиксом) должна писаться та же самая буква, что и в производящем глаголе
без этого суффикса "-ва-" -- припЕваючи.
Добавлю, что это наречие употребляется только в сочетании с глаголом "жить", то есть в устойчивом словосочетании жить припеваючи, что значит, безбедно, в достатке, хорошо и весело.