В русском языке существует множество наречий, представляющих собой застывшую падежную форму существительного, например:
летом, зимой, весной, утром, вечером.
В их написании нет затруднений. Сомнения возникают, если это наречие еще "помнит" своего родителя и при нем имеется предлог.
Вот таким наречием является за границей, которое представляет собой форму существительного творительного падежа.
Я часто бываю за границей.
Это наречие пишется раздельно, так как между предлогом и словом можно вставить определение в виде прилагательного или местоимения или вопрос:
за какой? границей, за дальней (чужой, нашей) границей.
Аналогично напишем словосочетания:
жить за границей, купить дом за границей, побывать за границей.
В таком контексте наречие "за границей" имеет значение "в другом государстве".
В русском языке имеется существительное заграница, обозначающее совокупность других государств. Оно пишется слитно и довольно редко встречается. Помните, прозвучало сакраментальное в романе И.Ильфа и Е. Петрова:
В контексте Наши связи с заграницей упрочились оно выступает в форме творительного падежа и пишется слитно с приставкой за-.