Question

Определить максимальное значение скорости шарика в математическом маятнике?

Математический маятник длина нитии которого 0,1 м. совершает гармонические колебания с амплитудой X=0,5 см . Определить максимальное значение скорости шарика?

Answer 1

Жаль, что я не умею пока вставлять рисунки в ответы. Надо бы нарисовать мат маятник, висящий на нити, а на конце нити маленький шарик. Но попробуем без рисунка. Нарисуйте вертикальную линию длиной L – это длина нити мат маятника L = 0,1 м = 10 см. Пусть О – точка подвеса маятника. Из этой точки проведите наклонную линию под некоторым углом к вертикали – это положение нити, когда маятник отклонился в сторону на расстояние Х = 0,5 см. Х – это расстояние от вертикальной линии до шарика по горизонтали. Проведите эту горизонтальную линию от шарика до вертикальной линии. Точку пересечения этой горизонтали с вертикальной линией обозначим буквой А. Обозначим расстояние ОА = а. Нарисуйте траекторию движения шарика – это будет дуга окружности. Шарик колеблется, проходя через точку равновесия В. Это точка пересечения вертикали с дугой. Это положение равновесия, когда шарик просто висит и не колеблется и находится в самой нижней точке своей траектории движения. При максимальном отклонении от положения равновесия Х шарик поднимется на высоту АВ = h. Мы видим прямоугольный треугольник. Из него по формуле Пифагора а^2 = L^2 – X^2. Здесь а^2 – это а в квадрате. Значок ^ означает возведение числа в квадрат. Высота подъема шарика h = L – a = L – корень(L^2 - X^2) = L - Lкорень(1- X^2/ L^2) = L[1 - корень(1- X^2/ L^2)]. В математике есть приближенная формула вычисления квадратного корня, когда z много меньше 1. Корень(1 – z) = 1 – z/2. Тогда имеем (проделайте это сами) h = (1/2)(X/L) = (1/2)(0,5/10) = (1/2)0,05 = 0,025 см. Это и есть максимальная высота подъема шарика.

Далее используем закон сохранения энергии: кинетическая энергия шарика при прохождении положения равновесия mv^2/2 равна потенциальной энергии шарика при его подъеме на высоту h mgh. То есть mv^2/2 = mgh. Или v^2 = 2gh. Где ускорение свободного падения g = 10 м/с^2 = 1000 cм/с^2. Или v = корень(2gh). Получим v = корень(2х1000х0,025) = корень(50) = 7,07 см/с. То есть примерно 7 см/с. Значок х – это знак умножения. Ответ v = 7 см/с.