Question

Дан прямоугольный треугольник... Найдите KL (см.)?

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C - точка N так, что CM=CB и CA=CN. CQ и CF - медианы треугольников ABC и NMC соответственно.

а) Докажите, что CF и CQ перпендикулярны.

б) L - точка пересечения BM и AN, K - точка пересечения NM и AB, BC=3, AC=5. Найдите V17*KL (корень 17 умножить на KL).

Answer 1

С вопросом а) особых проблем нет.

Треугольники АВС и MNC равны (прямоугольные с равными катетами). Соответственно в них угол MNC равен углу САВ, а угол АВС равен углу NMC/

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Значит треугольники MQC и CFA равнобедренные, угол MCQ равен углу QMC, а угол MCF равен углу CAF, и в сумме они дают 90 градусов.

<hr />

По вопросу б)

NC = AC, откуда угол LAC = 45 градусов. МС = ВС, угол СМВ = 45 градусов. Ему равен угол LMA, как вертикальный.

По Пифагору АВ=NM = sqrt(25+9) = sqrt(34)

NA = AC * sqrt(2) = 5*sqrt(2).

NL= sqrt(2)* NB/2 = 4 * sqrt(2).

AL = LM = sqrt(2)

Треугольник NBK подобен NMC по трём равным углам. Отсюда

KB/MC = NB/NM или KB = 8*3/sqrt(34)= 12 sqrt(34)/17

AK=AB-KB= sqrt(34) - (12/17) * sqrt(34) = 5 sqrt(34)/17

Теперь попробуем найти тригонометрические функции угла LAK.

tg CAB = 3/5. cos CAB = sqrt(1/(1+tg^2 CAB)) = sqrt(1/(34/25)) = 5 /sqrt(34);

sin CAB = 3/sqrt(34)

Угол LAK равен сумме углов LAM (45 градусов sin LAM = cos LAM = sqrt(2)/2) и САВ, синус и косинус которого мы уже посчитали.

cos LAK = cos LAM cos CAB - sin LAM sin CAB = (sqrt(2)/2 ) *2/sqrt(34)) =1/sqrt(17)

По теореме косинусов KL = sqrt(AL^2 + AK^2 - 2 AL * AK * cos LAK )

KL = sqrt(2+ 50/17 - 20/17) = 8/sqrt(17).

Умножив по требованию задачи на sqrt(17) получим

Ответ: 8.