Question

Как решить задание с параметром (уравнения могут иметь разное кол-во реш.)?

Начинаю готовиться к ЕГЭ, но параметры даются очень тяжело. Не могу осилить 10(4) задание. Пытался решить каждое квадратное уравнение относительно x, и рассмотреть дискриминант >=0, и еще применить теорему Виета, но не получается. Помогите пожалуйста) если решите еще 11(5), то буду очень признателен :З

Answer 1

10(4)

Поделим первое уравнение на 2а (вполне имеем право, потому что при а=0 уравнение превращается в бессмыслицу: 3=0)

x^2 - 2x - (a^2 - 3)/2a = 0 => (x-1)^2 = 1+(a^2 - 3)/2a

Второе делим на а-2 (при а=2 будет -4 = 0, что также бессмысленно)

x^2 + 2x - (a^2 + a - 2)/(a-2) => (x+1)^2 = 1 + (a^2 + a - 2)/(a-2)

Проще найти вариант, когда нет ни у одного из уравнений ни одного положительного решения.

Вообще нет решений, если 1+(a^2 - 3)/2a < 0 (0<a<1 и a<-3)

или 1 + (a^2 + a - 2)/(a-2) < 0 ( sqrt(5) - 1 < x < 2 и x< -1 - sqrt(5) )

Для первого уравнения, поскольку минимум лежит правее 0, то если решения есть, то хотя бы одно положительное имеется

Для второго уравнения обозначим пока b^2= 1 + (a^2 + a - 2)/(a-2)

и посмотрим при каких b^2 не будет положительных решений

(x+1)^2 = b^2

x+1=+-b ; x1 = -1+b; x2=-1-b;

Нет положительных решений при -1-b<x<-1+b

Имея все эти соображения, можем нарисовать числовую ось для a и отметить те интервалы, в которых нет решений или решения отрицательны. Все остальные интервалы пойдут в ответ.

<hr />

11(5)

Первое уравнение можно представить, как два

x+y=a; x+y = 1/a (два линейных уравнения, две параллельные прямые на графике)

Прямые сливаются в одну при а=1. Вариант а=0, ввиду того, что а в знаменателе вообще исключаем.

Второе уравнение преврашается в 2 гиперболы

xy=a; xy = -a (на графике четыре ветви гиперболы). К тому же из условия по этому уравнению следует, что а неотрицательно.

Для а, если оно меньше 1 уравнение x+y=a имеет 2 точки, при а > 1 две точки будут у уравнения x+y = 1/a.

Точек пересечения прямых с ветвями гиперболы у прямой, для которой х+у<1, только две. Нам надо определить, когда вторая прямая тоже будет иметь две точки пересечения, чтобы всего получилось четыре.

Попробуем найти минимальное расстояние от начала координат до гиперболы.

Это расстояние измеряем по прямой у=х.

Для гиперболы получится x^2=a; x=y=sqrt(a).

Рассмотри вначале вариант a>1.

Нам нужно чтобы прямая x+y=a не касалась (2sqrt(a)=a) и не пересекалась (2sqrt(a)>a) с верхней правой ветвью гиперболы, то есть 2 sqrt(a)<a . a<4.

Теперь случай с а<1

x+y=1/a не касается и не пересекает ту самую ветвь гиперболы.

2 sqrt(a)<1/a; a^3<1/4.

Получаем в результате две области

1<a<4 и 0<a<4^(-1/3).

Рисунок чисто для наглядности.